Question

【題目】如圖，在ABCD中，DC＞AD，四個(gè)角的平分線AE，DE，BF，CF的交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)分別作DC與AB間的垂線MM'與NN'，在DC與AB上的垂足分別是M，N與M′，N′，連接EF．

（1）求證：四邊形EFNM是矩形；

（2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）EF=4

【解析】（1）要說(shuō)明四邊形EFNM是矩形，有ME⊥CD，F(xiàn)N⊥CD條件，還缺ME=FN，過(guò)點(diǎn)E、F分別作AD、BC的垂線，垂足分別是G、H．利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得結(jié)論；

（2）利用平行四邊形的性質(zhì)，證明直角△DEA，并求出AD的長(zhǎng)．利用全等證明△GEA≌△CNF，△DME≌△DGE從而得到DM=DG，AG=CN，再利用線段的和差關(guān)系，求出MN的長(zhǎng)得結(jié)論．

（1）如圖，過(guò)點(diǎn)E、F分別作AD、BC的垂線，垂足分別是G、H，

∵∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥AD，EM⊥CD，EM′⊥AB，

∴EG=ME，EG=EM′，

∴EG=ME=ME′=MM′，

同理可證：FH=NF=N′F=NN′，

∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，

∴MM′=NN′，

∴ME=NF=EG=FH，

又∵MM′∥NN′，MM′⊥CD，

∴四邊形EFNM是矩形；

（2）∵DC∥AB，

∴∠CDA+∠DAB=180°，

∵∠3=∠CDA ，∠2=∠DAB，

∴∠3+∠2=90°，

在Rt△DEA，∵AE=4，DE=3，

∴AB==5，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠DAB=∠DCB，

又∵∠2=∠DAB，∠5=∠DCB，

∴∠2=∠5，

由（1）知GE=NF，

在Rt△GEA和Rt△CNF中

，

∴△GEA≌△CNF，

∴AG=CN，

在Rt△DME和Rt△DGE中，

∵DE=DE，ME=EG，

∴△DME≌△DGE，

∴DG=DM，

∴DM+CN=DG+AG=AB=5，

∴MN=CD﹣DM﹣CN=9﹣5=4，

∵四邊形EFNM是矩形，

∴EF=MN=4.