【題目】如圖,拋物線y=ax2+c(a≠0)與y軸交于點A,與x軸交于B、C兩點(點C在x軸正半軸上),△ABC為等腰直角三角形,且面積為4.現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移,平移后的拋物線經(jīng)過點C時,與x軸的另一交點為E,其頂點為F,對稱軸與x軸的交點為H.
(1)求a、c的值;
(2)連接OF,求△OEF的周長;
(3)現(xiàn)將一足夠大的三角板的直角頂點Q放在射線HF上,一直角邊始終過點E,另一直角邊與y軸相交于點P,是否存在這樣的點Q,使得以點P、Q、E為頂點的三角形與△POE全等?若存在,請直接寫出Q點坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)20+4;(3)存在,點Q(6,2)或Q(6,3).
【解析】
(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì),可得B(﹣2,0),A(0,2),C(2,0),將點代入解析式即可求a,c的值;
(2)求出AB的直線解析為y=x+2,設(shè)F(m,m+2),平移后拋物線解析式y=﹣(x﹣m)2+m+2,將點C(2,0)代入,得平移后拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣10,進而求出點E的坐標,即可得出結(jié)論;
(3)當P在x軸上方時,由△PQE≌△POE,可得QE=OE=10,在Rt△QHE中,OH==2,則Q(6,2);當P在x軸下方時,PQ=OE=10,過點P作PK⊥HF與點K,可證明△PKQ∽△QHE,則,則Q(6,3),即可得出結(jié)論.
解:(1)∵△ABC為等腰直角三角形,
∴AO=BC,
∵△ABC面積為4,
∴BCOA=4,
∴OA=2,BO=4,
∴B(﹣2,0),A(0,2),C(2,0),
∵點A,B在拋物線y=ax2+c上,
∴,
∴,
即a、c的值分別為﹣和2;
(2)如圖1,連接OF,
由(1)可知:y=﹣x2+2,
∵B(﹣2,0),A(/span>0,2),
∴AB的直線解析為y=x+2,
∵平移后拋物線頂點F在射線BA上,
設(shè)F(m,m+2),
∴平移后拋物線解析式y=﹣(x﹣m)2+m+2,
將點C(2,0)代入y=﹣(x﹣m)2+m+2,得
﹣(2﹣m)2+m+2=0,
∴m=6或m=0(舍),
∴F(6,8),
∴平移后拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣10,
當y=0時,﹣x2+6x﹣10=0,
∴x=2或x=10,
∴E(10,0),
∴OE=10,
∵F(6,8),
∴OF==10,EF==4,
∴△OEF的周長為OE+OF+EF=10+10+4=20+4;
(3)當P在x軸上方時,如圖2,
∵△PQE≌△POE,
∴QE=OE=10,
在Rt△QHE中,HQ==2,
∴Q(6,2),
當P在x軸下方時,如圖3,
∵△PQE≌△EOP,
∴PQ=OE=10,
過點P作PK⊥HF與點K,
∴PK=6,
在Rt△PQK中,QK==8,
∵∠PQE=90°,
∴∠PQK+∠HQE=90°,
∵∠HQE+∠HEQ=90°,
∴∠PQK=∠HEQ,
∵∠PKQ=∠QHE=90°,
∴△PKQ∽△QHE,
∴ ,
∴,
∴QH=3,
∴Q(6,3),
綜上所述:滿足條件的點Q(6,2)或Q(6,3).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△ABC各頂點的坐標分別為:A(-2,-2) , B(-4,-1) , C(-4,-4).
(1) 畫出與△ABC關(guān)于點P(0,-2)成中心對稱的△A1B1C1,并寫出點A1的坐標;
(2) 將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C2,畫出△A2B2C2,并寫出點C2的坐標.
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【題目】二次函數(shù)(是常數(shù),)的自變量與函數(shù)值的部分對應(yīng)值如下表:
… | 0 | 1 | 2 | … | |||
… | … |
且當時,與其對應(yīng)的函數(shù)值.有下列結(jié)論:①;②和3是關(guān)于的方程的兩個根;③.其中,正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c的頂點為C(0,),與x軸交于A、B兩點,且A(﹣1,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P從點B出發(fā),以每秒1個單位的速度向點A運動,同時點Q從點C出發(fā),以每秒v個單位的速度向y軸負方向勻速運動,運動時間為t秒,連接PQ交射線BC于點D,當點P到達點A時,點Q停止運動,以點P為圓心,PB為半徑的圓與射線BC交于點E.
①求BE的長;當t=1時,求DE的長;
②若在點P,Q運動的過程中,線段DE的長始終是一個定值,求v的值及DE長.
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【題目】如圖,函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過點B(2,0),與函數(shù)y=2x的圖象交于點A,則不等式0<kx+b<2x的解集為( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖1,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A(3,0),點B(﹣1,0),與y軸負半軸交于點C,連接BC、AC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線上是否存在點P,使得以A、B、C、P為頂點的四邊形的面積等于△ABC的面積的倍?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)如圖2,直線BC與拋物線的對稱軸交于點K,將直線AC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α°,直線AC在旋轉(zhuǎn)過程中的對應(yīng)直線A′C與拋物線的另一個交點為M.求在旋轉(zhuǎn)過程中△MCK為等腰三角形時點M的坐標.
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【題目】如圖,拋物線交軸正半軸于點,直線經(jīng)過拋物線的頂點.已知該拋物線的對稱軸為直線,交軸于點.
(1)求的值.
(2)是第一象限內(nèi)拋物線上的一點,且在對稱軸的右側(cè),連接.設(shè)點的橫坐標為;
①的面積為,用含的式子表示;
②記.求關(guān)于的函數(shù)表達式及的范圍.
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【題目】如圖,在矩形中,,,點是的中點,點是線段的一個動點,點是線段上的點,,連接將沿翻折,點的對應(yīng)點為點,連接,,若為直角三角形,則為________.
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