Question

如圖所示，菱形ABCD的頂點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)D在y軸的正半軸上，∠BAD=60°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（3）動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度，按照A→D→C→B→A的順序在菱形的邊上勻速運(yùn)動一周，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．求t為何值時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切？

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）在Rt△AOD中，根據(jù)OA的長以及∠BAD的正切值，即可求得OD的長，從而得到D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由菱形的鄰邊相等和對邊相互平行來求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AD的解析式．
（3）由于點(diǎn)P沿菱形的四邊勻速運(yùn)動一周，那么本題要分作四種情況考慮：
在Rt△OAD中，易求得AD的長，也就得到了菱形的邊長，而菱形的對角線平分一組對角，那么∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA=30°；
①當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，若⊙P與AC相切，由于∠PAC=30°，那么AP=2R（R為⊙P的半徑），由此可求得AP的長，即可得到t的值；
②③④的解題思路與①完全相同，只不過在求t值時(shí)，方法略有不同．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），∠BAD=60°，∠AOD=90°，
∴OD=OA•tan60°=2

3

，AD=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2

3

），
又∵AD=CD，CD∥AB，
∴C（4，2

3

）；

（2）設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），
∵A（-2，0），C（4，2

3

），
∴

0=-2k+b 2 3 =4k+b

，
解得

k= 3 3 b= 2 3 3

．
故直線AC的解析式為：y=

3

3

x+

2 3

3

；

（3））∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
AD=DC=CB=BA=4，（5分）
如圖所示：
①點(diǎn)P在AD上與AC相切時(shí)，
連接P₁E，則P₁E⊥AC，P₁E=r，
∵∠1=30°，
∴AP₁=2r=2，
∴t₁=2．
②點(diǎn)P在DC上與AC相切時(shí)，
CP₂=2r=2，
∴AD+DP₂=6，
∴t₂=6．
③點(diǎn)P在BC上與AC相切時(shí)，
CP₃=2r=2，
∴AD+DC+CP₃=10，
∴t₃=10．
④點(diǎn)P在AB上與AC相切時(shí)，
AP₄=2r=2，
∴AD+DC+CB+BP₄=14，
∴t₄=14，
∴當(dāng)t=2、6、10、14時(shí)，以點(diǎn)P為圓心、以1為半徑的圓與對角線AC相切．

點(diǎn)評：此題主要考查了一次函數(shù)解析式的確定、解直角三角形、菱形的性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)等；需要注意的是（3）題中，點(diǎn)P是在菱形的四條邊上運(yùn)動，因此要將所有的情況都考慮到，以免漏解．