Question

如圖，等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，E點為射線CB上一動點，連接AE，作AF⊥AE且AF=AE．
（1）如圖1，過F點作FG⊥AC交AC于G點，求證：△AGF≌△ECA；
（2）如圖2，連接BF交AC于D點，若

AD

CD

=3，求證：E點為BC中點；
（3）如圖3，當(dāng)E點在CB的延長線上時，連接BF與AC的延長線交于D點，若

BC

BE

=

4

3

，則

AD

CD

=

 

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠CAE=∠F，即可證明△AGF≌△ECA，即可解題；
（2）過F點作FG⊥AC交AC于G點，根據(jù)（1）中結(jié)論可得FG=AC=BC，即可證明△FGD≌△BCD，可得DG=CD，根據(jù)

AD

CD

=3可證

AG

AC

=

1

2

，根據(jù)AG=CE，AC=BC，即可解題；
（3）過F作FG⊥AD的延長線交于點G，易證

AC

CE

=

4

7

，由（1）（2）可知△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，可得CD=DG，AG=CE，即可求得

AC

CD

的值，即可解題．

解答：證明：（1）∵∠FAG+∠CAE=90°，∠FAG+∠F=90°，
∴∠CAE=∠F，
在△AGF和△ECA中，

∠AGF=∠ECA ∠F=∠CAE AF=AE

，
∴△AGF≌△ECA（AAS）；
（2）過F點作FG⊥AC交AC于G點，

∵△AGF≌△ECA，
∴FG=AC=BC，
在△FGD和△BCD中，

∠FDG=∠CDB ∠FGD=∠C=90° FG=BC

，
∴△FGD≌△BCD（AAS），
∴DG=CD，
∵

AD

CD

=3，
∴

AG

CD

=2，
∴

AG

AC

=

1

2

，
∵AG=CE，AC=BC
∴

CE

BC

=

1

2

，
∴E點為BC中點；
（3）過F作FG⊥AD的延長線交于點G，如圖3，
∵

BC

BE

=

4

3

，BC=AC，CE=CB+BE，
∴

AC

CE

=

4

7

，

由（1）（2）知：△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，
∴CD=DG，AG=CE，
∴

AC

AG

=

4

7

，
∴

AC

CG

=

4

3

，
∴

AC

1 2 AG

=

AC

CD

=

8

3

，
∴

AD

CD

=

11

3

．
故答案為

11

3

．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AGF≌△ECA和△DGF≌△DCB是解題的關(guān)鍵．