Question

如圖，在等邊△ABC中，點D為AC上一點，CD=CE，∠ACE=60°．
（1）求證：△BCD≌△ACE；
（2）延長BD交AE于F，連接CF，若AF=CF，猜想線段BF、AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證BC=AC，∠BCD=60°，即可證明△BCD≌△ACE，即可解題；
（2）易證BD為等邊△ABC中AC邊上的高，根據(jù)等邊三角形三線合一性質(zhì)可得∠ABD=∠DBC=30°，根據(jù)△BCD≌△ACE，可得∠DBC=∠CAE，即可求得∠BAF=90°，根據(jù)30°角所對直角邊是斜邊一半的性質(zhì)即可解題．

解答：證明：（1）∵△ABC是等邊△，
∴BC=AC，∠BCD=60°，
在△BCD和△ACE中，

CD=CE ∠BCD=∠ACE BC=AC

．
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）BF=2AF，
理由：∵AF=CF，AB=BC，
∴BF⊥AC且平分AC，
∴BD為等邊△ABC中AC邊上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠DBC=∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE=30°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAE=90°，
∴在Rt△ABF中，BF=2AF．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了30°角所對直角邊是斜邊一半的性質(zhì)，本題中求證△BCD≌△ACE是解題的關(guān)鍵．