Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-3，0)，B

（1，0)，過頂點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．

（1）a= ，b= ，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．

（2）在軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（3）若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合），PQ⊥AC于點(diǎn)Q，當(dāng)△PCQ與△ACH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）a=-1，b=-2，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，4）；

（2）存在，點(diǎn)D（0，3）或（0，1）；

（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為或.

【解析】

試題分析：（1）將A（-3，0)，B（1，0)代入函數(shù)解析式，可求出a=-1，b=-2，然后將函數(shù)關(guān)系式配方可得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）假設(shè)在y軸上存在滿足條件的點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，然后證明△CED∽△DOA，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可求出線段OD的長，即可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）分情況討論：①若點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)時(shí)，只能是△PCQ∽△CAH，延長CP交x軸于M，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，則點(diǎn)P是直線CM與拋物線的交點(diǎn)；若點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)時(shí)，只能是△PCQ∽△ACH，過A作CA的垂線交PC于點(diǎn)F，作FN⊥x軸于點(diǎn)N，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，則直線CM與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

試題解析：【解析】
（1）a=-1，b=-2，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，4）； 3分

（2）假設(shè)在y軸上存在滿足條件的點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，

由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°，

又∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠1，

又∵∠CED=∠DOA=90°，

∴△CED∽△DOA，

∴，

設(shè)D（0，c），則，

變形得，解之得，

綜合上述：在y軸上存在點(diǎn)D（0，3）或（0，1），

使△ACD是以AC為斜邊的直角三角形； ..8分

（3）①若點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)（如圖①），

只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH，

延長CP交x軸于M，

∴AM=CM，

∴AM2=CM2，

設(shè)M（m，0），則（m+3）2=42+（m+1）2，

∴m=2，即M（2，0），

設(shè)直線CM的解析式為y=k1x+b1，則，解之得，

∴直線CM的解析式，

聯(lián)立，解之得或（舍去），

∴，

②若點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)（如圖②），

只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH，

過A作CA的垂線交PC于點(diǎn)F，作FN⊥x軸于點(diǎn)N，

由△CFA∽△CAH得，

由△FNA∽△AHC得，

∴，點(diǎn)F坐標(biāo)為（-5，1），

設(shè)直線CF的解析式為y=k2x+b2，則，解之得，

∴直線CF的解析式，

聯(lián)立，解之得或（舍去），

∴，

∴滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為或 14分

（其他辦法也得分）

考點(diǎn)：1.待定系數(shù)法求解析式；2.相似三角形的判定與性質(zhì)；3.直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo).