【題目】如圖,已知∠MON=90°,點A在射線OM上運動,點B在射線ON上運動,OA>OB,點P在∠MON的平分線上,PA=PB.
(1)∠APB的大小是否發(fā)生變化?請說明理由;
(2)連接AB,點E是AB的中點,點F是OP的中點,求證:EF⊥OP.
【答案】(1)∠APB的大小不會變化,理由見解析;(2)見解析
【解析】
(1)過點P作PC⊥AO于C,PD⊥OB于D,由角平分線的性質(zhì)可得PC=PD,由“HL”可證Rt△ACP≌Rt△BDP,可得∠APC=∠BPD,可求∠APB=90°;
(2)由直角三角形的性質(zhì)可得OE=PE=AB,由等腰三角形的性質(zhì)可得EF⊥OP.
解:(1)∠APB的大小不會變化,
理由如下:如圖,過點P作PC⊥AO于C,PD⊥OB于D,連接OE,PE,EF,
∵PC⊥AO,PD⊥OB,∠MON=90°,
∴四邊形CPDO是矩形,
∴∠CPD=90°,
∵點P在∠MON的平分線上,PC⊥AO,PD⊥OB,
∴PC=PD,且PA=PB,
∴Rt△ACP≌Rt△BDP(HL)
∴∠APC=∠BPD,
∵∠BPC+∠BPD=90°,
∴∠BPC+∠APC=90°,
∴∠APB=90°,
∴∠APB的大小不會變化.
(2)∵點E是AB的中點,∠AOB=∠APB=90°,
∴OE=AB,PE=AB,
∴OE=PE,且點F是OP的中點,
∴EF⊥OP
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【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,AD⊥BC于點D,BD=2,以AD為一邊向右作等邊三角形ADE.
(1)求△ABC的周長;
(2)判斷AC、DE的位置關(guān)系,并給出證明.
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【題目】如圖,菱形ABCD中,∠A是銳角,E為邊AD上一點,△ABE沿著BE折疊,使點A的對應點F恰好落在邊CD上,連接EF,BF.
(1)若∠A=70°,請直接寫出∠ABF的度數(shù).
(2)若點F是CD的中點,
①求sinA的值;
②求證:S△ABE=SABCD.
(3)設(shè)=k, =m,試用含k的代數(shù)式表示m.
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【題目】閱讀理解:
如圖①,在△ABC的邊AB上取一點P,連接CP,可以把△ABC分成兩個三角形,如果這兩個三角形都是等腰三角形,我們就稱點P是△ABC的邊AB上的和諧點.
解決問題:
(1)如圖②,在△ABC中,∠ACB=90°,試找出邊AB上的和諧點P,并說明理由:
(2)己知∠A=36°,△ABC的頂點B在射線l上(如圖③),點P是邊AB上的和諧點,請在圖③及備用圖中畫出所有符合條件的點B,用同一標記標上相等的邊,并寫出相應的∠B的度數(shù).
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【題目】已知△ABC中,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊,下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是( )
A.∠A:∠B:∠C=3:4:5B.a:b:c=7:24:25
C.a2=b2﹣c2D.∠A=∠C﹣∠B
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,點P在邊AB上,若△APC為以AC為腰的等腰三角形,則tan∠BCP=________.
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【題目】如圖,把一張長方形卡片ABCD放在每格寬度為12mm的橫格紙中,恰好四個頂點都在橫格線上.已知α=36°,求長方形卡片的周長.
(精確到1mm,參考數(shù)據(jù):sin36°≈0.60,cos36°≈0.80,tan36°≈0.75)
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點B(-2,0),點C(8,0),與y軸交于點A.
(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+4的表達式;
(2)連接AC,AB,若點N在線段BC上運動(不與點B,C重合),過點N作NM∥AC,交AB于點M,當△AMN面積最大時,求N點的坐標;
(3)連接OM,在(2)的結(jié)論下,求OM與AC的數(shù)量關(guān)系.
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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,且過點A(3,0),二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=1,下列結(jié)論:
①b2>4ac;②ac>0; ③當x>1時,y隨x的增大而減; ④3a+c>0;⑤任意實數(shù)m,a+b≥am2+bm.
其中結(jié)論正確的序號是( 。
A. ①②③ B. ①④⑤ C. ③④⑤ D. ①③⑤
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