Question

【題目】已知點(diǎn)M(3，2)，拋物線L：y＝x2﹣3x+c與x軸從左到右的交點(diǎn)為A，B．

（1）若拋物線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3，2)，求拋物線L的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)2OA＝OB時(shí)，求c的值；

（3）直線y＝x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，①求點(diǎn)N的坐標(biāo)；②若線段MN與拋物線L：y＝x2﹣3x+c有唯一公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出正整數(shù)c的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣3x+2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，﹣)；（2）2或﹣18；（3）①(0，﹣1)，②1和3

【解析】

（1）把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用方程求得c的值；將已得函數(shù)解析式配方，可以求得頂點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）設(shè)A（，0），則OB=2OA=2||，需對(duì)的正負(fù)性進(jìn)行分類討論．若＞0，則B（2，0），根據(jù)點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱可求得的值，再把點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程即求得c的值．若＜0，則B（﹣2，0），計(jì)算方法與前面一樣．

（3）①利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，令x=0即求得點(diǎn)N的坐標(biāo)．

②由于拋物線開(kāi)口方向、大小，及對(duì)稱軸固定，可把拋物線看作上下平移，再觀察其與線段MN的交點(diǎn)情況．先聯(lián)立直線MN和拋物線解析式得到關(guān)于x的一元二次方程，計(jì)算△＝0時(shí)c的值，把c的值代回方程組求得直線和拋物線此時(shí)的交點(diǎn)，落在線段MN上，說(shuō)明c的值滿足條件．把拋物線向下平移，剛好過(guò)點(diǎn)M時(shí)求出c的值，此時(shí)直線與拋物線由兩個(gè)交點(diǎn)；繼續(xù)往下平移拋物線，就變成只有一個(gè)交點(diǎn)；一直到拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N為止，求c的值，于是得到滿足條件的c的范圍，再取正整數(shù)即為所求．

（1）∵拋物線L：y=x2﹣3x+c經(jīng)過(guò)M（3，2）

∴9﹣9+c=2

解得：c=2．

∴y=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣

∴拋物線L的解析式為：y=x2﹣3x+2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）

（2）設(shè)A（，0），則OA=||，OB=2OA=2||

①若＞0，則B（2，0）

∵拋物線對(duì)稱軸為直線：x=，點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱

∴，即

解得：=1

∴A（1，0）代入拋物線解析式得：1﹣3+c=0

解得：c=2

②若＜0，則B（﹣2，0）

∴

解得：=﹣3

∴A（﹣3，0）代入拋物線解析式得：9+9+c=0

解得：c=﹣18

綜上所述，c的值為2或﹣18．

（3）①∵直線y=x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（3，2）

∴3+b=2，解得：b=﹣1

∴直線解析式為y=x﹣1

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣1

∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（0，﹣1）

②聯(lián)立直線MN與拋物線解析式得：

整理得：x2﹣4x+c+1=0

當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△=（﹣4）2﹣4（c+1）=0

解得：c=3

∴方程的解為：

∴此時(shí)交點(diǎn)在線段MN上，即c=3滿足“線段MN與拋物線L：y=x2﹣3x+c有唯一公共點(diǎn)”

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，解得c=2，此時(shí)拋物線與線段MN有2個(gè)公共點(diǎn)

當(dāng)拋物線往下平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)N時(shí)，解得c=﹣1，此時(shí)拋物線與線段MN只有交點(diǎn)N

∴當(dāng)﹣1≤c＜2時(shí)，拋物線與線段MN只有一個(gè)公共點(diǎn)

∴滿足條件的正整數(shù)c的值為1和3．