Question

【題目】如圖，在中，，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值，小華的解題思路，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，那么就將求PA+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為求PM+MN+PC的值，連接CN，當(dāng)點(diǎn)P，M落在CN上時(shí)，此題可解．

（1）請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由；

（2）請(qǐng)你參考小華的解題思路，證明PA+PB+PC=PM+MN+PC；

（3）當(dāng)，求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形，見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得出，即可證明出是等邊三角形；

（2）繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，相加即可得；

（3）由（2）知，當(dāng)C、P、M、N四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC取到最小，由，，可得CN垂直平分AB，再利用直角三角形的邊角關(guān)系，從而求出PA+PB+PC的最小值．

（1）等邊三角形；

繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到MA，

，

是等邊三角形.

（2）繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

，由（1）可知，

.

（3）由（2）知，當(dāng)C、P、M、N四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC取到最小．

連接BN，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AB=AN，∠BAM=60°

∴是等邊三角形；

，

，

是AB的垂直平分線，垂足為點(diǎn)Q，

，

，

，

即的最小值為.