Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點，并與x軸交于另一點C（點C在點A的右側(cè)），點P是拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式及點C的坐標
（2）若點P在第二象限內(nèi)，如圖2，過點P作PD⊥x軸于D，交AB于點E，當點P運動到什么位置時，線段PE最長？此時PE等于多少？
（3）如圖3，如果平行于x軸的動直線a與拋物線交于點Q，與直線AB交于點N，點M為OA的中點，那么是否存在這樣的直線a，使得△MON是等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先通過直線求得與坐標軸的交點，然后應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，進而求得拋物線與x軸的交點．
（2）設(shè)出D的坐標（t，0），根據(jù)已知表示得E、P的坐標，根據(jù)PD⊥x軸即可求得解析式．
（3）有兩種情況：①MN=ON，②MN=OM，分別討論求得．

解答：解：（1）如圖1，

∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴A（-4，0），B（0，4），
∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點，
∴

-16-4b+c=0 c=4

，
解得

b=-3 c=4

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²-3x+4，
令y=0，則-x²-3x+4=0，
解得x=-4，x=1，
∴C（1，0）；

（2）如圖2，

設(shè)D（t，0），
∴E（t，t+4），P（t，-t²-3t+4），
∴PE=-t²-3t+4-t-4=-（t+2）²+4，
∴當t=-2時，線段PE有最大值是4，此時P（-2，6），

（3）如圖3，存在；
點Q的坐標為（

-3+ 13

2

，3）或（

-3- 13

2

，3）或（

-3+ 17

2

，2）或（

-3- 17

2

，2）．


證明：有兩種情況；
①當MN=ON時，
∵A（-4，0），
∵OA=4，
∵M是OA的中點
∴OM=2，
∵MN=ON，
∴N點的橫坐標是-1，代入直線y=x+4，解得：y=3，
∵過N點的直線平行x軸，
∴把y=3代入拋物線的解析式y(tǒng)=-x²-3x+4，解得；x=

-3+ 13

2

或x=

-3- 13

2

；
②當MN=OM時，
∵A（-4，0），
∵OA=4，
∵M是OA的中點
∴OM=2，
∴MN=OM=2
∵OB=4，
∴MN=

1

2

OB，
∴MN∥OB，
∴MN⊥x軸，
把y=2代入拋物線的解析式y(tǒng)=-x²-3x+4，
解得x=

-3+ 17

2

或x=

-3- 17

2

．
∴點Q的坐標為（

-3+ 13

2

，3）或（

-3- 13

2

，3）或（

-3+ 17

2

，2）或（

-3- 17

2

，2）．

點評：本題考查了直線與坐標軸的交點，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，函數(shù)的最值問題以及平行線的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．