Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C作⊙O的切線CM．
（1）求證：∠ACM=∠ABC；
（2）延長BC到D，使BC=CD，連接AD與CM交于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為3，ED=2，求△ACE的外接圓的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接OC，由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切線得出∠ACM+∠ACO=90°，再利用∠BAC=∠ACO，得出結(jié)論，
（2）連接OC，得出△AEC是直角三角形，△AEC的外接圓的直徑是AC，利用△ABC∽△CDE，求出AC，

解答：（1）證明：如圖，連接OC，

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
又∵CM是⊙O的切線，
∴OC⊥CM，
∴∠ACM+∠ACO=90°，
∵CO=AO，
∴∠BAC=∠ACO，
∴∠ACM=∠ABC；
（2）解：∵BC=CD，∠ACB=90°，
∴∠OAC=∠CAD，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
又∵OC⊥CE，
∴AD⊥CE，
∴△AEC是直角三角形，
∴△AEC的外接圓的直徑是AC，
又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，
∴△ABC∽△CDE，
∴

AB

CD

=

BC

ED

，
⊙O的半徑為3，
∴AB=6，
∴

6

CD

=

BC

2

，
∴BC²=12，
∴BC=2

3

，
∴AC=

36-12

=2

6

，
∴△AEC的外接圓的半徑為

6

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)角的關(guān)系．