Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．如圖，正方形的頂點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在第二象限．現(xiàn)將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到正方形．

（）如圖，若， ，求直線的函數(shù)表達(dá)式．

（）若為銳角， ，當(dāng)取得最小值時(shí)，求正方形的面積．

（）當(dāng)正方形的頂點(diǎn)落在軸上時(shí)，直線與直線相交于點(diǎn)， 的其中兩邊之比能否為？若能，求出的坐標(biāo)；若不能，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）；

（3）能，點(diǎn)的坐標(biāo)可為， ， ， ， ．

【解析】試題分析：（1）先判斷出△AEO為正三角形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出OM即可；（2）判斷出當(dāng)AE⊥OQ時(shí)，線段AE的長(zhǎng)最小，用勾股定理計(jì)算即可；（3）由△OEP的其中兩邊之比為：1分三種情況進(jìn)行計(jì)算即可．

試題解析：（）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， 與軸交點(diǎn)為，

∵， ，

∴為正三角形，

∴， ，

∴的坐標(biāo)為，

∵，

∴，

在中，

，即，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，

把代入，

得，解得，

∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．

（）當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)最小，

在中，

，

即，

由勾股定理得，

即，

解得，

，

此時(shí)， ．

（）能，

∵四邊形是正方形，

∴，

，

∴是等腰直角三角形，

①當(dāng)與重合時(shí)， 是等腰直角三角形（如圖）

∴，

在中， ，

∴，

∴，

∴坐標(biāo)為．

當(dāng)減小正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)在邊上，

的其中兩邊之比不可能為，

當(dāng)增加正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，存在（如圖）

和（如圖）兩種情況．

②如圖所示，當(dāng)時(shí)，

∴，

∴，

又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，即．

在中，

∵，

∴為等腰直角三角形，

∵，

，

即．

，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

③如圖所示，當(dāng)時(shí)，過(guò)作軸于點(diǎn)，

延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)．

∴，

，

∴是等腰直角三角形，

∴，

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為， ，

在中，由勾股定理得，

又∵，

，

在中，由勾股定理得，

，即，

∴，得，

，即．

∵，

∴，

又∵，

∴，

，

∴，

，

即，

又∵在中， ，

∴, ．

∵是等腰直角三角形，

∴，

則，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

④如圖所示，當(dāng)與重合時(shí)， 是等腰直角三角形，

，

即滿足條件，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

在圖的基礎(chǔ)上，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)減小時(shí)，

的其中兩邊之比不可能為，

當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)增加時(shí)，存在（圖）

⑤如圖所示，當(dāng)時(shí)，過(guò)作軸于點(diǎn)，

記直線交軸于點(diǎn)，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為， ，則，

在中，由勾股定理得，

在中，由勾股定理得，

∵，

即，

得，

，

在中，

，

是等腰直角三角形，

，則，

四邊形是正方形，

∴即，

又，

∴，

，即，

則，

∴是等腰直角三角形，

∴，解得，

即．

且，

∴為等腰直角三角形，∴，

，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)可為， ， ， ， ．