Question

如圖，直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，交⊙O于點(diǎn)B，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，連接CB并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)D，使AC=AD．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若BD=2

3

，OA=4，求線段BC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連接OC，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由OB=OC，AC=AD得到∠OBC=∠OCB，∠ACD=∠ADC，再由OA⊥l得∠ADC+∠ABD=90°，加上∠ABD=∠OBC，于是有∠OCB+∠ACD=90°，即∠ACO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）如圖1，作直徑BE，連接CE，設(shè)⊙O半徑為r，則AB=OA-OB=4-r，根據(jù)勾股定理得AD²=BD²-AB²=12-（4-r）²，AC²=AO²-OC²=16-r²，由于AC=AD，則12-（4-r）²=16-r²，解得r=

5

2

，再證明Rt△ABD∽R(shí)t△CBE，然后利用相似比可計(jì)算出BC．

解答：（1）證明：連接OC，如圖，
∵OB=OC，AC=AD
∴∠OBC=∠OCB，∠ACD=∠ADC，
∵OA⊥l，
∴∠ADC+∠ABD=90°，
而∠ABD=∠OBC，
∴∠OCB+∠ACD=90°，
∴∠ACO=90°
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：如圖1，作直徑BE，連接CE，
設(shè)⊙O半徑為r，則AB=OA-OB=4-r，
在Rt△ABD中，∵AD²=BD²-AB²=12-（4-r）²，
在Rt△AOC中，∵AC²=AO²-OC²=16-r²，
而AC=AD，
∴12-（4-r）²=16-r²，解得r=

5

2

，
∵BE為⊙O直徑，
∴∠BCE=90°，
又∵∠ABD=∠EBC，
∴Rt△ABD∽R(shí)t△CBE，
∴

BA

BC

=

BD

BE

，即

4- 5 2

BC

=

2 3

5

∴BC=

5 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．