Question

如圖，在城市改造中，市政府欲在一條人工河上架一座橋，河的兩岸PQ與MN平行，河岸MN上有A、B兩個相距50米的涼亭，小亮在河對岸D處測得∠ADP=60°，然后沿河岸走了110米到達C處，測得∠BCP=30°，求這條河的寬．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】分析：應合理應用∠CAQ的度數(shù)，CD的長度，所以過點D作CA的平行線得到平行四邊形．過點D向對邊引垂線，得到直角三角形，進而利用三角函數(shù)值求得河寬．
解答：解：作AE⊥PQ于E，CF⊥MN于F．（1分）
∵PQ∥MN，
∴四邊形AECF為矩形．
∴EC=AF，AE=CF．（2分）
設這條河寬為x米，
∴AE=CF=x．
在Rt△AED中，
∵∠ADP=60°，
∴ED===x．（4分）
∵PQ∥MN，
∴∠CBF=∠BCP=30°．
∴在Rt△BCF中，
BF===x．（6分）
∵EC=ED+CD，AF=AB+BF，
∴x+110=50+x．
解得x=30．
∴這條河的寬為30米．（10分）
點評：本題考查解直角三角形的應用．難點是作出輔助線，利用三角函數(shù)求解．