Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，CD=AD．
（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）在圖中畫出△ABC的外接圓；
（3）已知AC=6，BC=8，點(diǎn)E是△ABC外接圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是弦AE的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外接圓上運(yùn)動(dòng)一周，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖,三角形的外接圓與外心

專題：

分析：（1）由三條線段相等CD=AD=BD，得到∠ACD=∠A，∠DCB=∠B，再由三角形內(nèi)角和得出∠A+∠ACD+∠DCB+∠B=180°，所以∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°△ABC為直角三角形．
（2）作AB和AC的中垂線交于點(diǎn)D，以D為圓心，AD為半徑畫圓，所得三角形就是△ABC的外接圓，因?yàn)镃D=AD=BD，所以也可直接以D為圓心，AD為半徑畫圓，所得三角形就是△ABC的外接圓，
（3）連接DM．M是弦AE的中點(diǎn)，D為圓心，DM⊥AE，所以點(diǎn)M在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．求出AD的長(zhǎng)度，再求周長(zhǎng)為點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為5π．

解答：解：（1）△ABC為直角三角形．
理由如下：
∵CD=AD，
∴∠ACD=∠A．
又∵D為AB中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B．
∵∠A+∠ACD+∠DCB+∠B=180°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，
∴△ABC為直角三角形．
（2）①如圖，作AB和AC的中垂線交于點(diǎn)D，以D為圓心，AD為半徑畫圓，所得三角形就是△ABC的外接圓，
②也可直接以D為圓心，AD為半徑畫圓，所得三角形就是△ABC的外接圓，

（3）如圖，連接DM．

∵M(jìn)是弦AE的中點(diǎn)，D為圓心，
∴DM⊥AE，
∴點(diǎn)M在以AD為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∴AD=5．
∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為5π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了復(fù)雜作圖，作外接圓及外心，解決本題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)外接圓的圓心，明確M的規(guī)跡是以AD為直徑的圓．