Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,勾股定理,等腰直角三角形

專題：計算題,壓軸題

分析：根據(jù)等式的性質，可得∠BAD與∠CAD′的關系，根據(jù)SAS，可得△BAD與△CAD′的關系，根據(jù)全等三角形的性質，可得BD與CD′的關系，根據(jù)勾股定理，可得答案．

解答：解：作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD與△CAD′中，

BA=CA ∠BAD=∠CAD′ AD=AD′

，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=

AD2+(AD′)2

=

32

=4

2

，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=

DC2+(DD′)2

=

9+32

=

41

，
∴BD=CD′=

41

，
故答案為：

41

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了全等三角形的判定與性質，勾股定理，作出全等圖形是解題關鍵．