Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，E為⊙O的半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)E的直線分別交射線AM、BN于D、C兩點(diǎn)，且CB=CE．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）若AH=CH，求tan∠BAC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OE．欲證CD為⊙O的切線，只需證明OE⊥CD即可；
（2）延長BE交AD于F，連OD、OC、AE，構(gòu)建全等三角形：△AHF≌△CHB；求得BC=2AD，然后根據(jù)△AOD∽△BCO，求得AB=2

2

AD即可．

解答：
解：（1）證明：連接OE．
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB．
∵BC=EC，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠OBC=∠OEC．
∵BC為⊙O的切線，
∴∠OEC=∠OBC=90°；
∵OE為半徑，
∴CD為⊙O的切線；

（2）延長BE交AD于F，連OD、OC、AE．
∵DA、DC、為⊙O的切線，
∴DA=DE，
∴OD垂直平分AE，
∵OA=OB，
∴OD∥BE，
∴AD=DF，
即AF=2AD，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AF∥BC，
在△AHF與△CHB中

AH=CH ∠F=∠HBC ∠AHF=∠CHB

，
∴△AHF≌△CHB（AAS）
∴AF=BC，
設(shè)AD=a，
∴BC=2a，
∵OD平分∠AOE，OC平分∠BOE，
∴∠AOD+∠BOC=90°，
∵∠AOD+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠BOC，
∵∠OAD=∠CBO=90°，
∴△AOD∽△BCO，
∴

AD

OA

=

OB

BC

，
∴

AD

OA

=

OA

2AD

，
∴2AD²=OA²，
∴

2

AD=OA，
∴AB=2

2

AD，
∴tan∠BAC=

BC

AB

=

2AD

2 2 AD

=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角；直徑所對(duì)的圓周角是直角，運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．