【題目】在平面直角坐標系中，有兩點、，若滿足：當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，則稱點為點的“友好點”.

（1）點的“友好點”的坐標是_______.

（2）點是直線上的一點，點是點的“友好點”.

①當(dāng)點與點重合時，求點的坐標.

②當(dāng)點與點不重合時，求線段的長度隨著的增大而減小時，的取值范圍.

【答案】（1）；（2）①點的坐標是或；②當(dāng)或時，的長度隨著的增大而減小；

【解析】

（1）直接利用“友好點”定義進行解題即可；（2）先利用 “友好點”定義求出B點坐標，A點又在直線上，得到；①當(dāng)點和點重合，得．解出即可，②當(dāng)點A和點B不重合， 且．所以對a分情況討論，1°、當(dāng)或時，，所以當(dāng)a≤時，的長度隨著的增大而減小，即取．2°當(dāng)時，，當(dāng)時，的長度隨著的增大而減小，即取． 綜上，當(dāng)或時，的長度隨著的增大而減小．

（1）點，4＞1，根據(jù)“友好點”定義，得到點的“友好點”的坐標是

（2）點是直線上的一點，

．

，根據(jù)友好點的定義，點的坐標為，

①當(dāng)點和點重合，．

解得或．

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

點的坐標是或．

②當(dāng)點A和點B不重合，且．

當(dāng)或時，．

當(dāng)a≤時，的長度隨著的增大而減小，

取．

當(dāng)時， ．

當(dāng)時，的長度隨著的增大而減小，

取．

綜上，當(dāng)或時，的長度隨著的增大而減�。�

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將兩個等腰Rt△ADE、Rt△ABC如圖放置在一起，其中∠DAE＝∠ABC＝90°．點E在AB上，AC與DE交于點H，連接BH、CE，且∠BCE＝15°，下列結(jié)論：①AC垂直平分DE；②△CDE為等邊三角形；③tan∠BCD＝；④；正確的個數(shù)是（　�。�

A.1B.2C.3D.4

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖①，已知△ABC中，AB＝AC，點P是BC上的一點，PN⊥AC于點N，PM⊥AB于點M，CG⊥AB于點G點．

（1）則線段CG、PM、PN三者之間的數(shù)量關(guān)系是　 ；

（2）如圖②，若點P在BC的延長線上，則線段CG、PM、PN三者是否還有上述關(guān)系，若有，請說明理由，若沒有，猜想三者之間又有怎樣的關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）如圖③，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且AE＝AD，點P是BE上任一點，PN⊥AB于點N，PM⊥AC于點M，若正方形ABCD的面積是12，請直接寫出PM+PN的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在中，，，點在邊上，且，點為的中點，點為邊上的動點，當(dāng)點在上移動時，使四邊形周長最小的點的坐標為（ ）

A.B.C.D.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，的頂點在函數(shù)的圖象上，，邊在軸上，點為斜邊的中點，連續(xù)并延長交軸于點，連結(jié)，若的面積為，則的值為 （ ）

A. B. C. D.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠生產(chǎn)部門為了解本部門工人的生產(chǎn)能力情況，進行了抽樣調(diào)查．該部門隨機抽取了30名工人某天每人加工零件的個數(shù)，數(shù)據(jù)如下：

20

21

19

16

27

18

31

29

21

22

25

20

19

22

35

33

19

17

18

29

18

35

22

15

18

18

31

31

19

22

整理上面數(shù)據(jù)，得到條形統(tǒng)計圖：

樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下表所示：

統(tǒng)計量

平均數(shù)

眾數(shù)

中位數(shù)

數(shù)值

23

m

21

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）上表中眾數(shù)m的值為　 　；

（2）為調(diào)動工人的積極性，該部門根據(jù)工人每天加工零件的個數(shù)制定了獎勵標準，凡達到或超過這個標準的工人將獲得獎勵．如果想讓一半左右的工人能獲獎，應(yīng)根據(jù)　 　來確定獎勵標準比較合適．（填“平均數(shù)”、“眾數(shù)”或“中位數(shù)”）

（3）該部門規(guī)定：每天加工零件的個數(shù)達到或超過25個的工人為生產(chǎn)能手．若該部門有300名工人，試估計該部門生產(chǎn)能手的人數(shù)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點A、C為圓心，以大于AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D和E，作直線DE交AB于點F，交AC于點G，連接CF，以點C為圓心，以CF的長為半徑畫弧，交AC于點H．若∠A＝30°，BC＝2，則AH的長是(　　)

A. B. 2C. +1D. 2﹣2

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為(－3，0)、(0，4)，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點B，且頂點在直線x＝上．

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點A、B、O的對應(yīng)點分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得△PBD的周長最小，求出P點的坐標；

(4)在(2)、(3)的條件下，若點M是線段OB上的一個動點(點M與點O、B不重合)，過點M作∥BD交x軸于點N，連接PM、PN，設(shè)OM的長為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】問題背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時得到直角三角形的一個性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．即：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，則：AC=AB．

探究結(jié)論：小明同學(xué)對以上結(jié)論作了進一步研究．

（1）如圖1，連接AB邊上中線CE，由于CE=AB，易得結(jié)論：①△ACE為等邊三角形；②BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系為　　．

（2）如圖2，點D是邊CB上任意一點，連接AD，作等邊△ADE，且點E在∠ACB的內(nèi)部，連接BE．試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明．

（3）當(dāng)點D為邊CB延長線上任意一點時，在（2）條件的基礎(chǔ)上，線段BE與DE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論　　．

拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（﹣，1），點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作等邊△ABC，當(dāng)C點在第一象限內(nèi)，且B（2，0）時，求C點的坐標．

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