Question

如圖，在△ABC中，AB和AC被四條平行于BC的線段分成了五等分，如果△ABC的面積是S，則陰影部分②與④的面積的和是

 

；小三角形①與中間的梯形③的面積的和是

 

．

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：

分析：根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方求出①的面積，再求出①+②的面積，即可求出②的面積，再求出①+②+③的面積，即可求出③的面積，最后求出④的面積即可．

解答：解：
∵在△ABC中，AB和AC被四條平行于BC的線段分成了五等分，
∴AE：EG：GM：MQ：QB=AF：FH：HN：ND：DC=1：1：1：1：1：1，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

S△AEF

S△ABC

=（

AE

AB

）²=（

1

5

）²=

1

25

，
∵△ABC的面積是S，
∴①的面積是

1

25

S，
∵GH∥BC，
∴△AGH∽△ABC，
∴

S△AGH

S△ABC

=（

AG

AB

）²=（

2

5

）²=

4

25

，
∵△ABC的面積是S，
∴①+②的面積是

4

25

S，
∴②的面積是

4

25

S-

1

25

S=

3

25

S，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴

S△AMN

S△ABC

=（

AM

AB

）²=（

3

5

）²=

9

25

，
∵△ABC的面積是S，
∴①+②+③的面積是

9

25

S，
∴③的面積是

9

25

S-

3

25

S-

1

25

S=

1

5

S，
∵QD∥BC，
∴△AQD∽△ABC，
∴

S△AQD

S△ABC

=（

AQ

AB

）²=（

4

5

）²=

16

25

，
∵△ABC的面積是S，
∴①+②+③+④的面積是

16

25

S，
∴④的面積是

16

25

S-

9

25

S=

7

25

S，
∴陰影部分②與④的面積的和是

3

25

S+

7

25

S=

2

5

S，
小三角形①與中間的梯形③的面積的和是

1

25

S+

1

5

S=

6

25

S，
故答案為：

2S

5

，

6S

25

．

點評：本題考查了相似三角形的性質的應用，題目比較典型，是一道比較好的題目，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方．