Question

【題目】我們可以將任意三位數(shù)表示為（其中a、b、c 分別表示百位上的數(shù)字，十位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字，且a0）顯然，= 100a+10b+c；我們把形如和的兩個(gè)三位數(shù)稱為一對(duì)“姊妹數(shù)”（其中x、y、z是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)）如：123和321是一對(duì)“姊妹數(shù)”,789和987是一對(duì)“姊妹數(shù)”.

（1）一對(duì)“姊妹數(shù)”的和為1110，求這對(duì)“姊妹數(shù)”.

（2）如果用x表示百位數(shù)字，試說明：任意一對(duì)“姊妹數(shù)”的和能被37整除.

Answer 1

【答案】（1）456和654；（2）任意一對(duì)“姊妹數(shù)”的和能被37整除.

【解析】

（1）根據(jù)“姊妹數(shù)”的意義直接寫出兩對(duì)“姊妹數(shù)”，根據(jù)“姊妹數(shù)”的意義設(shè)出一個(gè)三位數(shù)，表示出它的“姊妹數(shù)”，求和，用1110建立方程求解，最后判斷即可；

（2）表示出這對(duì)“姊妹數(shù)”，并且求和，寫成37×6（x-1），判斷6（x-1）是整數(shù)即可．

（1）設(shè)任意一對(duì)“姊妹數(shù)”中的一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為(x1)百位數(shù)字為(x+1) （x為大于1小于9的整數(shù)），

則100（x+1）+10x+x-1=111x+99 ，

“姊妹數(shù)”為：100(x-1)+10x+1=111x-99，

和為：（111x+99）+（111x-99）=1110，

解之得，x=5

這對(duì)“姊妹數(shù)”為：456和654；

（2）由題意知：這個(gè)三位數(shù)百位數(shù)字為x(x為大于2小于9的整數(shù)),十位數(shù)字為x-1,個(gè)位數(shù)字為x-2，

則這個(gè)三位數(shù)為：100x+10(x-1)+(x-2)=111x-12，

其“姊妹數(shù)”為：100(x-2)+10(x-1)+x=111x-210，

和為：（111x-12）+（111x-210）=222x-222=222(x-1) =376(x-1)，

因?yàn)?/span>(x-1)為整數(shù)，

376(x-1)能被37整除.

任意一對(duì)“姊妹數(shù)”的和能被37整除.