Question

已知Rt△ABC，∠B=60°，AB=1，把斜邊BC放在直角坐標系的x軸上，且頂點A在反比例函數y=

3

x

的圖象上，則點C的坐標為

 

．

Answer 1

考點：反比例函數圖象上點的坐標特征

專題：

分析：由于反比例函數的圖象是雙曲線，點A可能在第一象限，也可能在第三象限，又因為斜邊BC在x軸上，所以可能點B在點C的右邊，也可能點B在點C的左邊，故一共分四種情況．針對每一種情況，都可以運用三角函數的定義求出點C的坐標．

解答：解：①當點A在第一象限時，如圖1，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

∵點A在反比例函數y=

3

x

上，
∴當y=

3

2

時，x=2，∴A（2，

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD-CD=2-

3

2

=

1

2

，
∴點C的坐標為（

1

2

，0）；
②當點A在第一象限時，如圖2，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

，
∵點A在反比例函數y=

3

x

上，
∴當y=

3

2

時，x=2，
∴A（2，

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD+CD=2+

3

2

=

7

2

，
∴點C的坐標為（

7

2

，0）；
③當點A在第三象限時，如圖3，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

，
∵點A在反比例函數y=

3

x

上，
∴當y=-

3

2

時，x=-2，
∴A（-2，-

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD-CD=2-

3

2

=

1

2

，
∴點C的坐標為（-

1

2

，0）；
④當點A在第三象限時，如圖4，
過點A作AD⊥x軸于D．
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，AB=1，
∴BD=

1

2

，AD=

3

2

，
∵點A在反比例函數y=

3

x

上，
∴當y=-

3

2

時，x=-2，
∴A（-2，-

3

2

），
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，AD=

3

2

，
∴CD=

3

2

，
∴OC=OD+CD=2+

3

2

=

7

2

，
∴點C的坐標為（-

7

2

，0）．
故答案為：（

1

2

，0），（

7

2

，0），（-

7

2

，0），（-

1

2

，0）．

點評：本題考查反比例函數的綜合運用以及30°角的直角三角形的性質，本題的關鍵是看到C的位置有4種不同的情況．