Question

如圖，任意畫一個∠A＝60º的△ABC，再分別作△ABC的兩條角平分線BE和CD交AB、CE于點D、E，BE和CD交于點P，連結AP．以下結論：
①∠BPC＝120°；②PD＝PE；③BC＝BD＋CE；④S_∆PBD＋S_∆PCE＝S_∆PBC ；⑤AD＋AE＝AP。
其中正確的序號是    。

Answer 1

①②③④⑤

試題分析：解：∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∠BAC=60°，
∴∠PBC+∠PCB=（180°-∠BAC）=（180°-60°）=60°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°，故①正確；
∵∠BPC=120°，∴∠DPE=120°，
過點P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，

∴AP是∠BAC的平分線，PF=PG=PH，
∵∠BAC=60°∠AFP=∠AGP=90°，∴∠FPG=120°，∴∠DPF=∠EPG，在△PFD與△PGE中，
∵
∴△PFD≌△PGE，∴PD=PE，
在Rt△BHP與Rt△BFP中，
∵PF=PH，BP=BP
∴Rt△BHP≌Rt△BFP，同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH=BD+DF①，CH=CE-GE②，兩式相加得，BH+CH=BD+DF+CE-GE，
∵DF=EG，∴BC=BD+CE，∴S△PBD+S△PCE=S△PBC，故③④正確；
∵AP是∠BAC的平分線，∠BAC=60°，∴∠BAP=∠CAP=30°，
∴AD-DF=AF=AP，AE+EG=AP，
∵DF=EG，∴AD+AE=AP，故⑤正確．
點評：本題難度較大，主要考查的是角平分線的性質、全等三角形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵．