Question

已知關(guān)于x的方程mx²+2（m-1）x+m-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m為非負(fù)整數(shù)．
（1）求m的值；
（2）將拋物線C₁：y=mx²+2（m-1）x+m-1向右平移a個(gè)單位，再向上平移b個(gè)單位得到拋物線C₂，若拋物線C₂過(guò)點(diǎn)A（2，b）和點(diǎn)B（4，2b+1），求拋物線C₂的表達(dá)式；
（3）將拋物線C₂繞點(diǎn)（n+1，n）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C₃，若拋物線C₃與直線y=

1

2

x+1有兩個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)在其對(duì)稱軸兩側(cè)，求n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換,拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）直接利用根的判別式求出m的取值范圍，進(jìn)而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出平移后解析式，進(jìn)而將A，B點(diǎn)代入求出即可；
（3）將拋物線C₂：y=（x-2）²+3繞點(diǎn)（n+1，n）旋轉(zhuǎn)180°后得到的拋物線C₃頂點(diǎn)為（2n，2n-3），進(jìn)而將橫坐標(biāo)代入直線解析式求出n的取值范圍即可．

解答：解：（1）∵方程mx²+2（m-1）x+m-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m≠0且△≥0，
則有4（m-1）²-4m（m-1）≥0且m≠0
∴m≤1且m≠0
又∵m為非負(fù)整數(shù)，
∴m=1．                

（2）拋物線C₁：y=x²平移后，得到拋物線C₂：y=（x-a）²+b，
∵拋物線C₂過(guò)點(diǎn)A（2，b），b=（2-a）²+b，可得a=2，
同理：2b+1=（4-a）²+b，可得b=3，
∴C₂：y=（x-2）²+3（或y=x²-4x+7）．

（3）將拋物線C₂：y=（x-2）²+3繞點(diǎn)（n+1，n）旋轉(zhuǎn)180°后得到的拋物線C₃頂點(diǎn)為（2n，2n-3），
把x=2n代入直線y=

1

2

x+1得，y=

1

2

×2n+1=n+1，
由題意得，2n-3＞n+1，即：n＞4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)幾何變換以及二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)和根的判別式等知識(shí)，得出旋轉(zhuǎn)后頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．