Question

如圖，△ABC的兩頂點(diǎn)分別為B（0，0），C（4，0），頂點(diǎn)A在直線l：y=-

1

2

x+3上．
（1）當(dāng)△ABC是以BC為底的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△ABC的面積為4時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）在直線l上是否存在點(diǎn)A，使∠BAC=90°？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）以BC為底的等腰三角形，點(diǎn)A是BC的中垂線與直線l的交點(diǎn)；
（2）根據(jù)△ABC的面積求得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，把點(diǎn)A的縱坐標(biāo)代入直線方程即可求得其橫坐標(biāo)；
（3）根據(jù)圓周角定理知：點(diǎn)A是以BC為直徑的圓與直線l的交點(diǎn)．

解答：解：（1）如圖1，當(dāng)△ABC是以BC為底的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)A在BC的中垂線上．
∵B（0，0），C（4，0），
∴BC的中垂線為x=2．
又點(diǎn)A在直線l：y=-

1

2

x+3上，
∴y=-

1

2

×2+3=2，
即A（2，2）；

（2）設(shè)A（a，b）．則依題意得

1

2

BC•|b|=4，即

1

2

×4|b|=4，
解得|b|=2
∴b=±2．
①當(dāng)b=2時(shí)，2=-

1

2

a+3，
解得 a=2
則A（2，2）；
②當(dāng)b=-2時(shí)，-2=-

1

2

a+3，
解得 a=10
則A（10，-2）．
綜上所述，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2）或（10，-2）；

（3）假設(shè)在直線l上是否存在點(diǎn)A（x，y），使∠BAC=90°．如圖2，則點(diǎn)A是以BC為直徑的圓與直線l的交點(diǎn)，則

(x-2)2+y2=4 y=- 1 2 x+3

，
解得

x=2 y=2

或

x=3.6 y=1.2

，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2），或（3.6，1.2）．
所以，在直線l上存在點(diǎn)A，使∠BAC=90°，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2），或（3.6，1.2）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積公式以及圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)．解（2）題的過程中，一定要對(duì)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)進(jìn)行分類討論，以防漏解．