Question

（1）△ABC為等邊三角形，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上，ED=EC

①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，求證：AE=DB．
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段AB上其它位置時(shí)，如圖2，AE=DB是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖3，若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB延長(zhǎng)線上時(shí)，AE=DB是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）先證AE=BE，再證∠D=∠DEB，得出DB=BE，即可得出DB=AE；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于F，先證明△AEF是等邊三角形，得出AE=EF，再證明△DBE≌△EFC，得出DB=EF，即可證出AE=DB；
（3）作EF∥BC，交AC的延長(zhǎng)線于F，先得出△AEF是等邊三角形，證出AE=EF，再證明△DBE≌△EFC，得出DB=EF，即可證出DB=AE．

解答：解：（1）①∵△ABC是等邊三角形，E為AB的中點(diǎn)，
∴∠ABC=60°，AE=BE，∠ECB=30°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠DEB=30°，
∴∠D=∠DEB，
∴DB=BE，
∴DB=AE；
②DB=AE成立；理由如下：
過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于F，如圖2所示：
則∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠CEF=∠ECD，
∵∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AEF=∠AFE=60°，
∠DBE=120°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF，∠EFC=120°，
∴BE=CF，∠DBE=∠EFC，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠CEF，
在△DBE和△EFC中，

∠D=∠CEF   ∠DBE=∠EFC   BE=CF

∴△DBE≌△EFC（AAS），
∴DB=EF，
∴AE=DB；
（2）AE=DB成立；理由如下：如圖3所示：
作EF∥BC，交AC的延長(zhǎng)線于F，
則△AEF是等邊三角形，∠DCE=∠CEF，
∴AE=EF，∠F=60°，
∵ED=DC，
∴∠D=∠DCE，
∴∠D=∠CEF，
在△DBE和△EFC中，

∠D=∠CEF   DBE=∠F=60°   ED=EC

∴△DBE≌△EFC（AAS），
∴DB=EF，
∴DB=AE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理論證的能力．