【題目】如圖(1),在△ABC中,如果正方形PQMN的邊QMBC上,頂點(diǎn)P,N分別在ABAC上,那么我們稱這樣的正方形為“三角形內(nèi)接正方形”小波同學(xué)按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進(jìn)行操作:如圖(2),任意畫△ABC,在AB上任取一點(diǎn)P′,畫正方形PQMN′,使Q′,M′在BC邊上,N′在△ABC內(nèi),連結(jié)BN′并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N,畫NMBC于點(diǎn)M,NPNMAB于點(diǎn)P,PQBC于點(diǎn)Q,得到四邊形PQMN,小波把線段BN稱為“波利亞線”,請(qǐng)幫助小波解決下列問題:

1)四邊形PQMN是否是△ABC的內(nèi)接正方形,請(qǐng)證明你的結(jié)論;

2)若△ABC為等邊三角形,邊長(zhǎng)BC6,求△ABC內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng);

3)如圖(3),若在“波利亞線”BN上截取NENM,連結(jié)EQ,EM.當(dāng)時(shí),猜想∠QEM的度數(shù),并說明你的理由.

【答案】1)四邊形PQMN是△ABC的內(nèi)接正方形,證明詳見解析;(21218;(3)∠QEM90°,理由詳見解析

【解析】

1)首先證明四邊形PQMN是矩形,再證明MNPN即可;

2)根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式可得結(jié)論;

3)證明△BQE∽△BEM,推出∠BEQ=∠BME,由∠BME+EMN90°,可得∠BEQ+NEM90°,即可解決問題.

解:(1)四邊形的內(nèi)接正方形,理由是:

如圖2中,由畫圖可知

四邊形是矩形,,

,

同理可得:

,

,

四邊形是正方形,即四邊形的內(nèi)接正方形;

2)如圖1,過,交,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,

為等邊三角形,邊長(zhǎng),

高線

四邊形是正方形,

,

,

,解得:,

答:內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)是

3)如圖3中,結(jié)論:

理由:設(shè),,則,,,

,,

,

,

,

,

,

,

,

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn),直線是拋物線的對(duì)稱軸.

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2)在直線上確定一點(diǎn),使的周長(zhǎng)最小,求出點(diǎn)的坐標(biāo);

3)若點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

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1)若摸出兩枚棋子的顏色都是白色是不可能事件,請(qǐng)寫出符合條件的一個(gè)x   ;

2)當(dāng)x2時(shí),“摸出兩枚棋子的顏色相同”與“摸出兩枚棋子的顏色不同”的概率相等嗎?說明理由.

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1)求a的值,并把頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整;

2)該年級(jí)共有500名學(xué)生,估計(jì)該年級(jí)學(xué)生跳高成績(jī)?cè)?/span>1.29m(含1.29m)以上的人數(shù).

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1)攪勻后從中摸出個(gè)盒子,盒中的紙片既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率是   ;

2)攪勻后先從中摸出個(gè)盒子(不放回),再從余下的個(gè)盒子中摸出個(gè)盒子,把摸出的個(gè)盒中的紙片長(zhǎng)度相等的邊拼在一起,求拼成的圖形是軸對(duì)稱圖形的概率.(不重疊無縫隙拼接)

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2)如圖②,準(zhǔn)平行四邊形內(nèi)接于,,若的半徑為,求的長(zhǎng);

3)如圖③,在中,,若四邊形是準(zhǔn)平行四邊形,且,請(qǐng)直接寫出長(zhǎng)的最大值.

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