【題目】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn),直線是拋物線的對(duì)稱軸.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在直線上確定一點(diǎn),使的周長(zhǎng)最小,求出點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2);(3),,,.
【解析】
(1)拋物線的表達(dá)式為:y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3),即可求解;
(2)由A、B關(guān)于拋物線對(duì)稱可知,連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,求P即為所求,求出直線BC的解析式,代入x=1即可得到;
(3)由,即可知OC=3OD,即可求解.
解:(1)拋物線的表達(dá)式為:y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3),
即-3a=3,解得:a=-1,
故拋物線的表達(dá)式為:y=-x2+2x+3;
(2)∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱,
∴PA=PB,
∴PC+PA=PB+PC,當(dāng)P、B、C共線時(shí)PB+PC最小,PC+PA最小
∴此時(shí)△PAC的周長(zhǎng)最小,
由y=﹣x2+2x+3可得C(0,3)
設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,
把C(0,3),B(3,0)代入得,解得,
∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x+3,
當(dāng)x=1時(shí),y=﹣x+3=2,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2).
(3)∵,
即OC=3OD,
當(dāng)x=0時(shí),y=3,C(0,3)
∴D為(x,±1)
當(dāng)y=1時(shí),x=1±,
當(dāng)y=-1時(shí),x=1±
∴C的坐標(biāo)為,,,.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了了解九年級(jí)學(xué)生體育測(cè)試成績(jī)情況,抽查了一部分考生的體育測(cè)試成績(jī),甲、乙、丙三位同學(xué)將抽查出的學(xué)生的測(cè)試成績(jī)按A(優(yōu)秀)、B(良好)、C(及格)、D(不及格)四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖(如圖).甲同學(xué)計(jì)算出成績(jī)?yōu)?/span>C的頻率是0.2,乙同學(xué)計(jì)算出成績(jī)?yōu)?/span>A、B、C的頻率之和為0.96,丙同學(xué)計(jì)算出成績(jī)?yōu)?/span>A的頻數(shù)與成績(jī)?yōu)?/span>C的頻數(shù)之比為6:5.結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖回答下列問題:
(1)這次抽查了多少人?
(2)所抽查學(xué)生體育測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)在哪個(gè)等級(jí)內(nèi)?
(3)若該校九年級(jí)學(xué)生共有720人,請(qǐng)你估計(jì)這次體育測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的分支上的點(diǎn)B′,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為( 。
A.(0,2)B.(0,3)C.(0,4)D.(0,5)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù).
(1)該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為__________;
(2)該函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為__________;
(3)用五點(diǎn)法畫函數(shù)圖象
… | … | ||||||
… | … |
(4)當(dāng)時(shí),則的取值范圍是__________;
(5)將該拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,所得函數(shù)的解析式為__________;
(6)拋物線與軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn),則__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的圖像如圖所示,它與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為.對(duì)于下列命題:①;②;③;④. 其中正確的有( )
A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A(-4,-4),B(0,4)兩點(diǎn),直線AC:y=-x-6交y軸與點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)G.
(1)求拋物線y=-x2+bx+c的表達(dá)式;
(2)連接GB、EO,當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)G的坐標(biāo);
(3)①在y軸上存在一點(diǎn)H,連接EH、HF,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),以A、E、F、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?求出此時(shí)點(diǎn)E、H的坐標(biāo);
②在①的前提下,以點(diǎn)E為圓心,EH長(zhǎng)為半徑作圓,點(diǎn)M為⊙E上一動(dòng)點(diǎn),求AM+CM的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
小騰遇到這樣一個(gè)問題:如圖1,在中,點(diǎn)在線段上.,,,.求的長(zhǎng).
小騰發(fā)現(xiàn),過點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),通過構(gòu)造,經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決(如圖2).
發(fā)現(xiàn):的度數(shù)為 ,的長(zhǎng)為
探究:參考小騰思考問題的方法,解決問題:
如圖3,在四邊形中,,,,與交于點(diǎn),,,求,的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(3,0),與軸交于點(diǎn)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M是拋物線在軸下方上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作MN//軸交直線BC于點(diǎn)N,求線段MN的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)MN取最大值時(shí),在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△PBN是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),在△ABC中,如果正方形PQMN的邊QM在BC上,頂點(diǎn)P,N分別在AB,AC上,那么我們稱這樣的正方形為“三角形內(nèi)接正方形”小波同學(xué)按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進(jìn)行操作:如圖(2),任意畫△ABC,在AB上任取一點(diǎn)P′,畫正方形P′Q′M′N′,使Q′,M′在BC邊上,N′在△ABC內(nèi),連結(jié)BN′并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N,畫NM⊥BC于點(diǎn)M,NP⊥NM交AB于點(diǎn)P,PQ⊥BC于點(diǎn)Q,得到四邊形PQMN,小波把線段BN稱為“波利亞線”,請(qǐng)幫助小波解決下列問題:
(1)四邊形PQMN是否是△ABC的內(nèi)接正方形,請(qǐng)證明你的結(jié)論;
(2)若△ABC為等邊三角形,邊長(zhǎng)BC=6,求△ABC內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng);
(3)如圖(3),若在“波利亞線”BN上截取NE=NM,連結(jié)EQ,EM.當(dāng)時(shí),猜想∠QEM的度數(shù),并說明你的理由.
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