Question

如圖：長(zhǎng)方形ABCD中，AD=10，AB=4，點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△BPQ是等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：分BP=PQ、BP=BQ和BQ=PQ三種情況分別討論，再結(jié)合勾股定理求解即可．

解答：解：∵四邊形ABCD為矩形，且AD=10，
∴BQ=5，
當(dāng)BP=PQ時(shí)，過(guò)P作PM⊥BQ，交BQ于點(diǎn)M，如圖1，

則BM=MQ=2.5，且四邊形ABMP為矩形，
∴AP=BM=2.5，
當(dāng)BQ=BP時(shí)，則BP=5，在Rt△ABP中，AB=4，由勾股定理可求得AP=3，
當(dāng)PQ=BQ時(shí)，以點(diǎn)Q為圓心，BQ為半徑作圓，于AD交于R、S兩點(diǎn)，如圖2，

過(guò)Q作QN⊥RS，交RS于點(diǎn)N，則可知RN=SN，
在Rt△RNQ中，可求得RN=SN=3，
則AR=2，AS=8，
即R、S為滿足條件的P點(diǎn)的位置，
∴AP=2或8，
綜上可知AP為2或2.5或3或8，
故答案為：2或2.5或3或8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．注意利用畫(huà)圓可以找到滿足條件的點(diǎn)．