Question

已知點(diǎn)A（2，m），B（3，n）在拋物線y=（x-1）²+1上，點(diǎn)P是該拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，則PA+PB的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：把A、B坐標(biāo)代入解析式可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，則可知C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），可知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x=1的對稱點(diǎn)，連接BC交與對稱軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，過B作BD⊥CA，交CA的延長線于點(diǎn)D，可知CD=3，BD=3，可求得BC的長，即PA+PB的最小值．

解答：解：
∵點(diǎn)A（2，m），B（3，n）在拋物線y=（x-1）²+1上，
∴m=（2-1）²+1=2，n=（3-1）²+1=5，
∴A為（2，2），B為（3，5），
設(shè)拋物線y=（x-1）²+1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C，可求得C為（0，2），且對稱軸方程為x=1，
∴C是A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)，
連接AC，BC，則BC與對稱軸的交點(diǎn)即為所滿足PA+PB最小值時的P點(diǎn)，
過B作BD⊥CA，交CA的延長線于點(diǎn)D，可知CD=3，BD=3，
在Rt△BCD中可求得BC=3

2

，
即PA+PB的最小值為3

2

，
故答案為：3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)，確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．