Question

如圖，已知一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)y=x的圖象交于點A，且與x軸交于點B．
（1）求點A和點B的坐標；
（2）過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l∥y軸．動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿O-C-A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當點P到達點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設(shè)動點P運動的時間為t秒．
①當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？
②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圖象與坐標軸交點求法直接得出即可，再利用直線交點坐標求法將兩直線解析式聯(lián)立即可得出交點坐標；
（2）①利用S_梯形ACOB-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，表示出各部分的邊長，整理出一元二次方程，求出即可；
②根據(jù)一次函數(shù)與坐標軸的交點得出，∠OBN=∠ONB=45°，進而利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的判定求出即可．
解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=-x+7與正比例函數(shù)y=x的圖象交于點A，且與x軸交于點B．
∴，
解得：，
∴A點坐標為：（3，4）；
∵y=-x+7=0，
解得：x=7，
∴B點坐標為：（7，0）．

（2）①當P在OC上運動時，0≤t＜4時，PO=t，PC=4-t，BR=t，OR=7-t，
∵當以A、P、R為頂點的三角形的面積為8，
∴S_梯形ACOB-S_△ACP-S_△POR-S_△ARB=8，
∴（AC+BO）×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=8，
∴（AC+BO）×CO-AC×CP-PO×RO-AM×BR=16，
∴（3+7）×4-3×（4-t）-t×（7-t）-4t=16，
∴t²-8t+12=0，
解得：t₁=2，t₂=6（舍去），
當4≤t＜7時，S_△APR=AP×OC=2（7-t）=8，解得t=3，不符合4≤t＜7；
綜上所述，當t=2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8；

②存在．延長CA到直線l于一點D，當l與AB相交于Q，
∵一次函數(shù)y=-x+7與x軸交于（7，0）點，與y軸交于（0，7）點，
∴NO=OB，
∴∠OBN=∠ONB=45°，
∵直線l∥y軸，
∴RQ=RB，CD⊥L，
當0≤t＜4時，如圖1，
RB=OP=QR=t，DQ=AD=（4-t），AC=3，PC=4-t，
∵以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，則AP=AQ，
∴AC²+PC²=AP²=AQ²=2AD²，
∴9+（4-t）²=2（4-t）²，解得：t₁=1，t₂=7（舍去），
當AP=PQ時 3²+（4-t）²=（7-t）²，
解得t=4 （舍去）
 當PQ=AQ時，2（4-t）²=（7-t）²，
解得t₁=1+3（舍去），t₂=1-3（舍去）
當4≤t＜7時，如圖（備用圖），過A作AD⊥OB于D，則AD=BD=4，
設(shè)直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t，
由cos∠OAC==，
得AQ=（t-4），
若AQ=AP，則（t-4）=7-t，解得t=，
當AQ=PQ時，AE=PE，即AE=AP，
得t-4=（7-t），
解得：t=5，
當AP=PQ時，過P作PF⊥AQ，于F，
AF=AQ=×（t-4），
在Rt△APF中，由cos∠PAF==，
得AF=AP，
即×（t-4）=（7-t），
解得：t=，
綜上所述，當t=1、5、、秒時，存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形．
點評：此題主要考查了一次函數(shù)與坐標軸交點求法以及三角形面積求法和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，此題綜合性較強，利用函數(shù)圖象表示出各部分長度，再利用勾股定理求出是解決問題的關(guān)鍵．