Question

如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x（2＜x＜4）．
（1）當(dāng)x=時，求弦PA、PB的長度；
（2）當(dāng)x為何值時，PD•CD的值最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線l與圓相切于點(diǎn)A，且AB為圓的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB垂直于直線l，又PC垂直于直線l，根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AB與PC平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對內(nèi)錯角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△PCA與△PAB相似，由相似得比例，將PC及直徑AB的長代入求出PA的長，在直角三角形PAB中，由AB及PA的長，利用勾股定理即可求出PB的長；
（2）過O作OE垂直于PD，與PD交于點(diǎn)E，由垂徑定理得到E為PD的中點(diǎn)，再由三個角為直角的四邊形為矩形得到OACE為矩形，根據(jù)矩形的對邊相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的長表示出PE，根據(jù)PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到關(guān)于x的二次函數(shù)，配方后根據(jù)自變量x的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出所求式子的最大值及此時x的取值．
解答：解：（1）∵⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，且AB為⊙O的直徑，
∴AB⊥l，又∵PC⊥l，
∴AB∥PC，
∴∠CPA=∠PAB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，又PC⊥l，
∴∠PCA=∠APB=90°，
∴△PCA∽△APB，
∴=，即PA²=PC•AB，
∵PC=，AB=4，
∴PA==，
∴Rt△APB中，AB=4，PA=，
由勾股定理得：PB==；

（2）過O作OE⊥PD，垂足為E，
∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，
∴PE=ED，
又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，
∴四邊形OACE為矩形，
∴CE=OA=2，又PC=x，
∴PE=ED=PC-CE=x-2，
∴PD=2（x-2），
∴CD=PC-PD=x-2（x-2）=x-2x+4=4-x，
∴PD•CD=2（x-2）•（4-x）=-2x²+12x-16=-2（x-3）²+2，
∵2＜x＜4，
∴當(dāng)x=3時，PD•CD的值最大，最大值是2．
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．