Question

【題目】已知二次函數(shù)y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1（m為常數(shù)），函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為C．

（1）若該函數(shù)的圖像恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）該函數(shù)的圖像與x軸分別交于點(diǎn)A、B，若以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求m的值．

Answer 1

【答案】（1），（2）m的值為1或－1

【解析】

（1）把（0，0）代入y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1可求出m的值，可得二次函數(shù)解析式，配方即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）令y=0，可用m表示出x1和x2，即可表示出AB的距離，根據(jù)二次函數(shù)解析式可用含m的代數(shù)式表示頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形可得關(guān)于m的方程，解方程求出m的值即可.

（1）解：∵y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1的圖像經(jīng)過點(diǎn)（0，0）

∴2m＋1＝0，

∴m＝－，

當(dāng)m＝－時(shí)，y＝x2－x＝(x－)2－，

∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)(，－).

（2）解：當(dāng)y＝0時(shí)x2－2(m＋1)x＋2m＋1＝0

∴x1＝2m＋1，x2＝1，

∴AB＝，

∵y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1＝(x－m－1)2－m2，

∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)(m＋1，－m2)，

∵以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，

∴2m2＝，

當(dāng)2m2＝2m時(shí)，m1＝0，m2＝1，

當(dāng)2m2＝－2m時(shí)，m1＝0，m2＝－1，

當(dāng)m＝0時(shí)，AB＝0（舍）

答：m的值為1或－1.