Question

【題目】如圖，O是菱形ABCD對角線BD上的一點，且OC＝OD，連接OA．

（1）求證：∠AOC＝2∠ABC；

（2）求證：CD2＝OD·BD．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析

【解析】

（1）連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知BD垂直平分AC，∠ADC＝∠ABC，由中垂線的性質(zhì)可得OA=OC，進而可得AO=OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BOC＝2∠ODC，∠AOB＝2∠ADO，進而根據(jù)菱形對角相等的性質(zhì)即可得答案；（2）由菱形性質(zhì)可得∠BDC＝∠CBD，由（1）得∠ODC＝∠OCD，可得∠OCD＝∠CBD，由∠ODC是公共角，可證明△CDO∽△BDC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得答案.

（1）連接AC．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD垂直平分AC，∠ADC＝∠ABC．

∵O是BD上一點，

∴OA＝OC．

∵OC＝OD，

∴AO＝OD，∠ODC＝∠OCD．

∴∠BOC＝∠ODC＋∠OCD＝2∠ODC．

同理：∠AOB＝2∠ADO，

∴∠AOC＝2(∠ADO＋∠ODC)＝2∠ADC．

又∵∠ADC＝∠ABC，

∴∠AOC＝2∠ABC．

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC＝CD．

∴∠BDC＝∠CBD．

由（1）得∠ODC＝∠OCD，

∴∠OCD＝∠CBD．

在△CDO和△BDC中

∵∠ODC＝∠CDB，∠OCD＝∠CBD

∴△CDO∽△BDC．

∴＝，

即CD2＝OD·BD．