Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF．
（1）證明：BD=CD；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,矩形的判定

專題：計算題

分析：（1）由AF與BC平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，再一對對頂角相等，且由E為AD的中點，得到AE=DE，利用AAS得到三角形AFE與三角形DCE全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證；
（2）當△ABC滿足：AB=AC時，四邊形AFBD是矩形，理由為：由AF與BD平行且相等，得到四邊形AFBD為平行四邊形，再由AB=AC，BD=CD，利用三線合一得到AD垂直于BC，即∠ADB為直角，即可得證．

解答：解：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E為AD的中點，
∴AE=DE，
在△AFE和△DCE中，

∠AFE=∠DCE ∠AEF=∠DEC AE=DE

，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD；
（2）當△ABC滿足：AB=AC時，四邊形AFBD是矩形，
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴四邊形AFBD是矩形．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，以及矩形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．