Question

【題目】如圖，∠AOB＝30°，M、N分別是邊OA、OB上的定點(diǎn)，P、Q分別是邊OB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，記∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，當(dāng)MP＋PQ＋QN最小時(shí)，則關(guān)于∠1、∠2的數(shù)量關(guān)系正確的是（ ）

A.∠1＋∠2＝90°B.2∠2－∠1＝30°

C.2∠1＋∠2＝180°D.∠1－∠2＝90°

Answer 1

【答案】D

【解析】

如圖，作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，根據(jù)軸對(duì)稱可得∠OPM=∠OPM′，根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠OPM′=∠QPN，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得∠OPM=∠1∠O=∠130°，由此可得∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠130°)，與此類似可得∠OQP=∠3=30°+∠2，在△MQP中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠1∠2=90°.

如圖,作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′,N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′,連接M′N′交OA于Q，交OB于P，

則MP+PQ+QN最小，

∵∠1=∠O+∠OPM，

∴∠OPM=∠1∠O=∠130°，

∵∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN，

∴∠OPM=∠QPN=∠130°，

∴∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠130°)

∵∠3=∠O+∠2=30°+∠2,

∵∠N′QA=∠3，∠OQP=∠N′QA

∴∠OQP==∠3=30°+∠2,

∴∠130°+∠2=2(30°+∠2)，

在△MQP 中，

∠1+∠OQP+∠QPM=180°，

即∠1+30°+∠2+180°-2(∠130°)=180°，

化簡(jiǎn)得∠1∠2=90°.

故選D.