【題目】已知,內(nèi)接于,點是弧的中點,連接、;
(1)如圖1,若,求證:;
(2)如圖2,若平分,求證:;
(3)在(2)的條件下,若,,求的值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)2.
【解析】
(1)由點P是弧AB的中點,可得出AP=BP, 通過證明 ,可得出進而證明AB PC.
(2)由PA是∠CPM的角平分線,得到∠MPA=∠APC, 等量代換得到∠ABC=∠ACB, 根據(jù)等腰三角形的判定定理即可證得AB=AC.
(3)過A點作AD⊥BC,有三線合一可知AD平分BC,點O在AD上,連結OB,則∠BOD=∠BAC,根據(jù)圓周角定理可知∠BOD=∠BAC, ∠BPC=∠BAC,由∠BOD=∠BPC可得 ,設OB= ,根據(jù)勾股定理可算出OB、BD、OD、AD的長,再次利用勾股定理即可求得AP的值.
解:(1)∵點P是弧AB的中點,如圖1,
∴AP=BP,
在△APC和△BPC中
,
∴△APC≌△BPC(SSS),
∴∠ACP=∠BCP,
在△ACE和△BCE中
,
∴△ACE≌△BCE(SAS),
∴∠AEC=∠BEC,
∵∠AEC+∠BEC=180°,
∴∠AEC=90°,
∴AB⊥PC;
(2)∵PA平分∠CPM,
∴∠MPA=∠APC,
∵∠APC+∠BPC+∠ACB=180°,∠MPA+∠APC+∠BPC=180°,
∴∠ACB=∠MPA=∠APC,
∵∠APC=∠ABC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(3)過A點作AD⊥BC交BC于D,連結OP交AB于E,如圖2,
由(2)得出AB=AC,
∴AD平分BC,
∴點O在AD上,
連結OB,則∠BOD=∠BAC,
∵∠BPC=∠BAC,
∴=,
設OB=25x,則BD=24x,
∴OD==7x,
在中,AD=25x+7x=32x,BD=24x,
∴AB==40x,
∵AC=8,
∴AB=40x=8,
解得:x=0.2,
∴OB=5,BD=4.8,OD=1.4,AD=6.4,
∵點P是的中點,
∴OP垂直平分AB,
∴AE=AB=4,∠AEP=∠AEO=90°,
在中,OE=,
∴PE=OP﹣OE=5﹣3=2,
在中,AP=.
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【題目】如圖1,AB是⊙O的直徑,P為⊙O外一點,C,D為⊙O上兩點,連結OP,CD,PD=PC.已知AB=8.
(1)若OP=5,PD=3,求證:PD是⊙O的切線;
(2)若PD、PC是⊙O的切線;
①求證:OP⊥CD;
②連結AD,BC,如圖2,若∠DAB=50°,∠CBA=70°,求弧CD的長.
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【題目】如圖,AB與⊙O相切于點C,OA,OB分別交⊙O于點D,E,弧CD=弧CE.
(1)求證:OA=OB
(2)已知AB=4,OA=4,求陰影部分的面積.
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【題目】甲、乙兩名同學在一次用頻率去估計概率的實驗中,繪出了某一結果出現(xiàn)的頻率的折線圖,則符合這一結果的實驗可能是
A. 擲一枚正六面體的骰子,出現(xiàn)1點的概率
B. 拋一枚硬幣,出現(xiàn)正面的概率
C. 任意寫一個整數(shù),它能被2整除的概率
D. 從一個裝有2個白球和1個紅球的袋子中任取一球,取到紅球的概率
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【題目】如圖,已知點的坐標是,點的坐標是,以線段為直徑作⊙,交軸的正半軸于點,過、、三點作拋物線.
(1)求拋物線的解析式;
(2)連結,,點是延長線上一點,的角平分線交⊙于點,連結,在直線上找一點,使得的周長最小,并求出此時點的坐標;
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點,使得,若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系中,O為原點,點A(﹣,0),點B(0,1)把△ABO繞點O順時針旋轉,得△A'B'O,點A,B旋轉后的對應點為A',B',記旋轉角為α(0°<α<360°).
(1)如圖①,當點A′,B,B′共線時,求AA′的長.
(2)如圖②,當α=90°,求直線AB與A′B′的交點C的坐標;
(3)當點A′在直線AB上時,求BB′與OA′的交點D的坐標(直接寫出結果即可)
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,且OA=OB.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若AB=2,∠AOB=60°,求BC的長.
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【題目】我市某儲運部緊急調(diào)撥一批物資,調(diào)進物資共用4小時,調(diào)進物資2小時后開始調(diào)出物資(調(diào)進物資與調(diào)出物資的速度均保持不變).儲運部庫存物資(噸)與時間(小時)之間的函數(shù)關系如圖所示,這批物資從開始調(diào)進到全部調(diào)出需要的時間是( )
A. 4小時B. 4.3小時C. 4.4小時D. 5小時
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【題目】如圖所示,在正方形ABCD中,G為CD邊中點,連接AG并延長交BC邊的延長線于E點,對角線BD交AG于F點.已知FG=2,則線段AE的長度為( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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