Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B的直線的表達(dá)式為y=x+3．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖①，點(diǎn)P（m，0）是線段AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中-3＜m＜0，作直線DP⊥x軸，交直線AB于D，交拋物線于E，作EF∥x軸，交直線AB于點(diǎn)F，四邊形DEFG為矩形．設(shè)矩形DEFG的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，寫(xiě)出L與m的函數(shù)關(guān)系式，并求m為何值時(shí)周長(zhǎng)L最大；
（3）如圖②，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)A，B，Q構(gòu)成的三角形是以AB為腰的等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)直線y=x+3求得A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式，最后轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可；
（2）根據(jù)P的坐標(biāo)求得D、E的坐標(biāo)，然后根據(jù)E的坐標(biāo)求得F的坐標(biāo)，依次求得DE、EF的長(zhǎng)，即可求得矩形的周長(zhǎng)L與m的解析式，然后轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可；
（3）先根據(jù)A、B的坐標(biāo)求得AB的長(zhǎng)，然后依據(jù)題意應(yīng)用勾股定理即可求得Q的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得Q的坐標(biāo)；

解答：解：（1）由經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B的直線的表達(dá)式為y=x+3．可知A（-3，0），B（0，3），
∵拋物線y=-x²+bx+c交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，
∴

0=-9-3b+c 3=c

，
解得：b=-2，c=3，
∴拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3，
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∵頂點(diǎn)C（-1，4）；

（2）如圖②，∵直線DP⊥x軸，點(diǎn)P（m，0），
∴D（m，m+3），E（m，-m²-2m+3），F(xiàn)（-m²-2m，-m²-2m+3），
∴DE=（-m²-2m+3）-（m+3）=-m²-3m，EF=-m²-2m-m=-m²-3m，
∴L=2DE+2EF=2（-m²-3m）+2（-m²-3m）=-4m²-12m，
即L=-4m²-12m；
∵L=-4m²-12m=-4（m+

3

2

）²+9，
∴當(dāng)m=-

3

2

時(shí)，L有最大值；

（3）存在；
理由：如圖②，∵A（-3，0），B（0，3），
∴AB=

OA2+OB2

=

32+32

=3

2

，
∵Q在直線x=-1上，
∴設(shè)Q（-1，n），
∵點(diǎn)A，B，Q構(gòu)成的三角形是以AB為腰的等腰三角形，
①當(dāng)AQ=AB=3

2

，
∴2²+n²=(3

2

)2，
∴n=

14

，或n=-

14

，
②當(dāng)BQ=AB=3

2

，
∴1²+（3-n）²=(3

2

)2
∴n=3+

17

，或n=3-

17

，
③當(dāng)AQ=BQ時(shí)，作AB的垂直平分線與對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)為Q，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴AB的垂直平分線為y=-x，
∴Q（-1，1）；
綜上，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，

14

）；（-1，-

14

）；（-1，3+

17

）或（-1，3-

17

）或（-1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解析式以及解析式的頂點(diǎn)式，勾股定理的應(yīng)用，函數(shù)的最值問(wèn)題以及等腰三角形的性質(zhì)等，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)依據(jù)函數(shù)的解析式求得相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵；