【題目】如圖,已知直線l//AB,lAB之間的距離為2C、D是直線l上兩個動點(點CD點的左側(cè)),且AB=CD=5.連接ACBC、BD,將ABC沿BC折疊得到ABC.下列說法:①四邊形ABDC的面積始終為10;②當(dāng)AD重合時,四邊形ABDC是菱形;③當(dāng)AD不重合時,連接AD,則∠CAD+BC A′=180°;④若以A、C、B、D為頂點的四邊形為矩形,則此矩形相鄰兩邊之和為37.其中正確的是( )

A. ①②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③

【答案】A

【解析】

①根據(jù)平行四邊形的判定方法可得到四邊形ABCD為平行四邊形,然后根據(jù)平行四邊形的面積公式計算;

②根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AC=CD,然后根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形ABDC是菱形;

③連結(jié)A′D,根據(jù)折疊性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)得到CA′=CA=BD,AB=CD=A′B,∠1=CBA=2,可證明A′CD≌△A′BD,則∠3=4,然后利用三角形內(nèi)角和定理得到得到∠1=4,則根據(jù)平行線的判定得到A′DBC;

④討論:當(dāng)∠CBD=90°,則∠BCA=90°,由于SA1CB=SABC=5,則S矩形A′CBD=10,根據(jù)勾股定理和完全平方公式進行計算;當(dāng)∠BCD=90°,則∠CBA=90°,易得BC=2,而CD=5,于是得到結(jié)論.

①∵AB=CD=5ABCD,

∴四邊形ABCD為平行四邊形,

∴四邊形ABDC的面積=2×5=10;故①正確;

②∵四邊形ABDC是平行四邊形,

A′D重合時,

AC=CD,

∵四邊形ABDC是平行四邊形,

∴四邊形ABDC是菱形;故②正確;

③連結(jié)A′D,如圖,

∵△ABC沿BC折疊得到A′BC,

CA′=CA=BD,AB=CD=A′B,

A′CDA′BD

,

∴△A′CD≌△A′BDSSS),

∴∠3=4,

又∵∠1=CBA=2

∴∠1+2=3+4,

∴∠1=4,

A′DBC,

∴∠CA′D+BCA′=180°;故③正確;

④設(shè)矩形的邊長分別為ab,

當(dāng)∠CBD=90°

∵四邊形ABDC是平行四邊形,

∴∠BCA=90°,

SA′CB=SABC=×2×5=5

S矩形A′CBD=10,即ab=10

BA′=BA=5,

a2+b2=25

∴(a+b2=a2+b2+2ab=45,

a+b=3

當(dāng)∠BCD=90°時,

∵四邊形ABDC是平行四邊形,

∴∠CBA=90°,

BC=3

CD=5,

∴(a+b2=2+52=49,

a+b=7,

∴此矩形相鄰兩邊之和為7.故④正確.

故選A

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