Question

如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸和y上，點B的坐標(biāo)為（-2，3），雙曲線y=

k

x

（k＜0）的圖象經(jīng)過BC的中點D，且與AB交于點E，連接D，E．
（1）求k的值及點E的坐標(biāo)．
（2）若點F是OC邊上一點，且∠BDE=∠CFB，求直線FB的解析式．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得k的值，得到解析式，然后代入點E的橫坐標(biāo)，即可求得E點的坐標(biāo)；
（2）先求得△FBC∽△DEB，得出CF的長，進而得出OF的坐標(biāo)，然后應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得直線FB的解析式；

解答：解：（1）∵點B的坐標(biāo)是（-2，3），
∴中點D的坐標(biāo)是（-1，3），
∵y=

k

x

（k＜0）經(jīng)過點D，
∴3=

k

-1

，解得k=-3，
∵點E在AB 上，
∴點E的橫坐標(biāo)是-2，
∵y=

-3

x

經(jīng)過點E，
∴點E的縱坐標(biāo)是

3

2

，
∴點E的坐標(biāo)是（-2，

3

2

）；

（2）由（1）得，BD=1，BE=

3

2

，BC=2，
∵∠BDE=∠CFB，∠DBE=∠FCB=90°，
∴△FBC∽△DEB，
∴

BD

CF

=

BE

CB

，即

1

CF

=

3 2

2

，
∴CF=

4

3

，
∴OF=

5

3

，即點F的坐標(biāo)是（0，

5

3

），
設(shè)直線FB的解析式為：y=k₁x+b，
則

3=-2k1+b 5 3 =b

解得

k1=- 2 3 b= 5 3

，
∴直線FB的解析式為：y=-

2

3

x+

5

3

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式的方法的應(yīng)用，三角形相似的判定及性質(zhì)等．