Question

已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，且AD⊥BC，BE⊥AC，BE，AD相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BF∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，DF=6．
（1）求AE的長(zhǎng)；
（2）求

S△AEG

S△FBG

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定推出∠C=60°，求出∠CBF=60°，∠F=30°，解直角三角形求出BD，即可得出答案；
（2）求出BF長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定得出即可．

解答：解：（1）∵在△ABC中，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，且AD⊥BC，BE⊥AC，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠C=60°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF=∠C=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠FDB=90°，
∴∠F=30°，
∵DF=6，
∴BD=2

3

，
∵AE=EC=BD=DC，
∴AE=2

3

；

（2）∵∠BDF=90°，∠F=30°，BD=2

3

，
∴BF=2DB=4

3

，
∵AC∥BF，
∴△AEG∽△FBG，
∴

S△AEG

S△FBG

=（

AE

BF

）²=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，平行線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方．