Question

【題目】已知四邊形ABCD的一組對邊AD、BC的延長線交于點E.

(1)如圖①，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求證：ED·EA＝EC·EB；

(2)如圖②，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝，CD＝5，AB＝12，△CDE的面積為6，求四邊形ABCD的面積；

(3)如圖③，另一組對邊AB、DC的延長線相交于點F.若cos∠ABC＝cos∠ADC＝，CD＝5，CF＝ED＝n，直接寫出AD的長(用含n的式子表示)．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）18 ；（3）.

【解析】

試題（1）證明△EAB∽△ECD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）過點C作CG⊥AD于點D，過點A作AH⊥BC于點H.在Rt△CDG中利用已知條件求得DG、OG的長，再根據(jù)△CDE的面積為6，可求得DE的長，在△ABH中求得BH、AH的長，利用（1）△EAB∽△ECD，可求得EH的長，由S四邊形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH即可求得四邊形ABCD的面積；（3）由（1）（2）提供的思路即可求解.

試題解析：

(1)證明：∵∠ADC＝90°，

∴∠EDC＝90°，

∴∠ABE＝∠CDE.

又∵∠AEB＝∠CED，

∴△EAB∽△ECD，

∴＝，

∴ED·EA＝EC·EB.

(2)過點C作CG⊥AD于點D，過點A作AH⊥BC于點H.

∵CD＝5，cos∠ADC＝，

∴DG＝3，CG＝4.

∵S△CED＝6，

∴ED＝3，

∴EG＝6.

∵AB＝12，∠ABC＝120°，則∠BAH＝30°，

∴BH＝6，AH＝6.

由(1)得△ECG∽△EAH，

∴＝，

∴EH＝9，

∴S四邊形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝×6×9－6－×6×6＝75－18.

(3)作CH⊥AD于H，則CH＝4，DH＝3.

∴tanE＝.作AG⊥DF于點G.

設(shè)AD＝5a，則DG＝3a，AG＝4a，

∴FG＝DF－DG＝5＋n－3a.

∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E＝∠F，

∴△AFG∽△CEH，

∴＝，

∴＝，

∴a＝，

∴AD＝5a＝.