Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y＝（x＋m）2＋m與直線(xiàn)y＝x相交于E，C兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)C的左邊），拋物線(xiàn)與x軸交

于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）．△ABC的外接圓⊙H與直線(xiàn)y＝-x相交于點(diǎn)D．

⑴ 若拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），求m的值；

⑵ 求證：⊙H與直線(xiàn)y＝1相切；

⑶ 若DE＝2EC，求⊙H的半徑．

Answer 1

【答案】(1)-2;(2)見(jiàn)解析;(3)3.

【解析】

（1）由拋物線(xiàn)y=（x+m）2+m與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），可得m2+m=2，又由拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即可得（x+m）2+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，繼而求得答案；
（2）首先作直徑CM交弦AB于點(diǎn)G，連接HB，由拋物線(xiàn)y=（x+m）2+m，與直線(xiàn)y=-x相交于E，C兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)C的左邊），可得（x+m）2+m=-x，繼而可證得點(diǎn)C是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，由拋物線(xiàn)與圓的對(duì)稱(chēng)性得：CM垂直平分AB，可證得CM⊥直線(xiàn)y=1，然后設(shè)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則x1，x2是（x+m）2+m=x2+2mx+m2+m=0的兩根，可得x1+x2=-2m，x1x2=m2+m，再設(shè)⊙H的半徑為r，CG=-m，HG=-m-r，易證得點(diǎn)H到直線(xiàn)y=1的距離為：-m-r+1=2r-r=r，即可得⊙H與直線(xiàn)y=1相切；
（3）首先連接MD，由⊙H與直線(xiàn)y=1相切于點(diǎn)M，可得△CMN是等腰直角三角形，CM為直徑，易得DN=DC，則可求得EC的長(zhǎng)，繼而求得答案．

⑴ ∵拋物線(xiàn)y＝（x＋m）2＋m與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），

∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝m2＋m＝2，解之，得，m1＝-2，m2＝1．

∵拋物線(xiàn)y＝（x＋m）2＋m與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有不等的實(shí)數(shù)根，（2m）2－4（m2＋m）＞0，

∴m＜0，∴m＝-2．

⑵ 證明：作直徑CM交弦AB于點(diǎn)G，連接HB．

由拋物線(xiàn)y＝（x＋m）2＋m與直線(xiàn)y＝-x相交于點(diǎn)E，C兩點(diǎn)，

可得（x＋m）2＋m＝-x，

∴（x＋m）2＋m＋x＝0，（x＋m）（x＋m＋1）＝0．

∴x1＝-m，x2＝-m-1．

因?yàn)辄c(diǎn)E在點(diǎn)C的左邊，

所以E，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為E（-m-1，m＋1），C（-m，m）．

故點(diǎn)C是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．由拋物線(xiàn)和圓的對(duì)稱(chēng)性知，CM垂直平分AB．

∴CM⊥直線(xiàn)y＝1，

設(shè)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則x1，x2是方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的兩根．

∴x1＋x2＝-2m，x1x2＝m2＋m．

∴AB＝x2－x1＝=2．

設(shè)⊙H的半徑為r，CG＝-m，HG＝m-r．在Rt△HGB中，HG＝-m-r，HB＝r，GB＝．

∴（-m－r）2＋（）2＝r2．r ＝．

因?yàn)?/span>HG＝-m-r，

所以點(diǎn)H到直線(xiàn)y＝1的距離為-m-r＋1＝2r-r＝r，

所以，⊙H與直線(xiàn)y＝1相切．

⑶ 連接MD，⊙H與直線(xiàn)y＝1相切于點(diǎn)M，所以△CMN為等腰直角三角形，

∵CM為直徑，

∴∠CDM＝90°，

∴DN＝DC．由E（-m-1，m＋1），C（-m，m）可得，EC＝．

又∵DE＝2EC，

∴CD＝3CE＝3，

∴CN＝2CD＝6，

∴CM＝2r ＝6，

∴r ＝3．