Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線ABy＝kx﹣1分別交x軸、y軸于點A、B，直線CDy＝x+2分別交x軸、y軸于點D、C，且直線AB、CD交于點E，E的橫坐標(biāo)為﹣6．

(1)如圖①，求直線AB的解析式；

(2)如圖②，點P為直線BA第一象限上一點，過P作y軸的平行線交直線CD于G，交x軸于F，在線段PG取點N，在線段AF上取點Q，使GN＝QF，在DG上取點M，連接MN、QN，若∠GMN＝∠QNF，求的值；

(3)在(2)的條件下，點E關(guān)于x軸對稱點為T，連接MP、TQ，若MP∥TQ，且GN：NP＝4：3，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y＝x﹣1；(2)=；(3)點P坐標(biāo)為(8，3).

【解析】

(1)把點E橫坐標(biāo)代入直線CD求得點E的坐標(biāo)，再代入直線y＝kx﹣1中，即求得直線AB的解析式．

(2)先求出點C、D坐標(biāo)得到等腰Rt△OCD，由GF∥y軸得△DGF也是等腰直角三角形，易得DG＝FG．故延長延長GF至H，使FH＝FQ構(gòu)造等腰直角三角形．證明△GMN∽△HNQ，由對應(yīng)線段成比例得NH＝MG．再通過轉(zhuǎn)化證明FG＝NH，代入計算得到DG＝2MG，即M為DG中點，進而求得=．

(3)設(shè)點P橫坐標(biāo)為p，則能用p表示G、F、M的坐標(biāo)，進而用p表示GP的長．由GN：NP＝4：3，求得用p表示GN的式子，又因為GN＝QF，即能用p表示Q的坐標(biāo)．易求點T坐標(biāo)，故能用待定系數(shù)法求直線TQ解析式中一次項系數(shù)a的式子(含p)．同理可求直線MP解析式中一次項系數(shù)c的式子(含p)，由MP∥TQ可得a＝c，即列得關(guān)于p的方程，求出p即得點P坐標(biāo)．

解：(1)將x＝﹣6代入y＝x+2中得y＝﹣4

∴E(﹣6，﹣4)，

將E(﹣6，﹣4)代入y＝kx﹣1中，

得﹣4＝﹣6k﹣1，解得k＝，

∴直線AB的解析式為y＝x﹣1

(2)如圖②，延長GF至H，使FH＝FQ，連接QH，

∵∠QFH＝90°，GN＝QF

∴QH＝FQ＝GN，∠NHQ＝45°

在y＝x+2中令x＝0，得y＝2，令y＝0，得x＝﹣2，

∴C(0，2)，D(﹣2，0)，

∴OC＝OD＝2

∵∠COD＝90°

∴∠OCD＝∠ODC＝45°

∵FG∥OC

∴∠DGF＝∠DCO＝45°，∠DFG＝∠COD＝90°

∴DG＝FG，∠MGN＝∠NHQ＝45°

∵∠GMN＝∠QNF

∴△GMN∽△HNQ

∴

∴NH＝MG

∵GN＝FQ＝FH

∴FN+GN＝FN+FH，即FG＝NH

∴DG＝FG＝NH＝×MG＝2MG

∴DG＝DM+MG＝2MG

∴DM＝MG＝DG

∴==

(3)如圖③，點T與E關(guān)于x軸對稱，

∴T(﹣6，4)

∵點P在直線BA第一象限上

∴設(shè)點P坐標(biāo)為(p，p﹣1)(p＞2)

∵FG∥y軸

∴F(p，0)，G(p，p+2)，

∴PF＝p﹣1，GF＝p+2

∴GP＝GF﹣PF＝p+3

∵GN：NP＝4：3

∴FQ＝GN＝GP＝

∴xQ＝p﹣，即Q(，0)

設(shè)直線TQ解析式為：y＝ax+b

∴ 解得：a＝

∵=，即點M為DG中點

∴M(，)

設(shè)直線MP解析式為：y＝cx+d

∴ 解得：c＝

∵MP∥TQ

∴a＝c，即

解得：p＝8

∴點P坐標(biāo)為(8，3)