Question

【題目】類比探究：

（1）如圖1，等邊△ABC內有一點P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大��；（提示：將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP′處）

（2）如圖2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點，且∠EAF＝45°．求證：EF2＝BE2+FC2；

（3）如圖3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，點O為△ABC內一點，連接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)△APB繞著點A逆時針旋轉60°得到△ACP′，根據(jù)旋轉變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應邊相等，全等三角形對應角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理即可得到結論；
（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ACE′，根據(jù)旋轉的性質可得AE′=AE，CE′=CE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，再求出∠E′AF=45°，從而得到∠EAF=∠E′AF，然后利用“邊角邊”證明△EAF和△E′AF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得E′F=EF，再利用勾股定理列式即可得證；
（3）將△AOB繞點B順時針旋轉60°至△A′O′B處，連接OO′，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，即A′B的長，再根據(jù)旋轉的性質求出△BOO′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BO=OO′，等邊三角形三個角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四點共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到OA+OB+OC=A′C．

解：（1）如圖1，將△APB繞著點A逆時針旋轉60°得到△ACP′，

∴△ACP′≌△ABP，

∴AP′＝AP＝8、CP′＝BP＝15、∠AP′C＝∠APB，

由題意知旋轉角∠PA P′＝60°，

∴△AP P′為等邊三角形，

∴P P′＝AP＝8，∠A P′P＝60°，

∵PP′2+P′C2＝82+152＝172＝PC2，

∴∠PP′C＝90°，

∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°

（2）如圖2，把△ABE繞著點A逆時針旋轉90°得到△ACE′，

則AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，

∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠CAF＝∠CAF+∠CAE′＝∠FAE′＝45°，

∴∠EAF＝∠E′AF，且AE＝AE'，AF＝AF，

∴△AEF≌△AE′F（SAS），

∴EF＝E′F，

∵∠B+∠ACB＝90°，

∴∠ACB+∠ACE′＝90°，

∴∠FCE′＝90°，

∴E′F2＝CF2+CE′2，

∴EF2＝BE2+CF2；

（3）如圖3，將△AOB繞點B順時針旋轉60°至△A′O′B處，連接OO′，

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，

∴AB＝2，

∴

∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，

∴△A′O′B如圖所示；

∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，

∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，

∴AB＝2AC＝2，

∵△AOB繞點B順時針方向旋轉60°，得到△A′O′B，

∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，

∴△BOO′是等邊三角形，

∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，

∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，

∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，

∴C、O、A′、O′四點共線，

在Rt△A′BC中，，

∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．