Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，動點P以2米/秒的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點Q以1米/秒的速度從點C出發(fā)，沿CB項點B移動，設P、Q兩點移動t秒（0＜t＜5）后，三角形CPQ的面積為S米²．

（1）求面積S與時間t的關(guān)系式；

（2）在P、Q兩點移動的過程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等？若能，求出此時點P的位置；若不能，請說明理由．

（3）t為何值時，三角形CPQ為直角三角形．

Answer 1

【考點】四邊形綜合題．

【分析】（1）過點P作PE⊥BC于E，利用勾股定理求出AC的長，AP=2t，CQ=t，則PC=10﹣2t，又PE∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例列出比例式即可得出PE的長，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；

（2）假設四邊形ABQP與△CPQ的面積相等，則S_△PCQ=S_△ABC，再判斷出方程根的情況即可；

（3）分∠PQC=90°與∠CPQ=90°兩種情況進行討論即可．

【解答】解：（1）如圖1，過點P作PE⊥BC于E，Rt△ABC中，AC===10（m）．

由題意知：AP=2t，CQ=t，則PC=10﹣2t．                        

由AB⊥BC，PE⊥BC，得PE∥AB，

∴=，即=

∴PE=（10﹣2t）=﹣t+6，

∴S_△PCQ=CQ•PE=t•（﹣t+6）=﹣t²+3t（0＜t＜5）；

（2）不能．

理由：∵假設四邊形ABQP與△CPQ的面積相等，

∴S_△PCQ=S_△ABC，即﹣t²+3t=×6×8，整理得，t²﹣5t+40=0．

∵△=（﹣5）²﹣160=﹣135＜0，

∴t無解，

∴邊形ABQP與△CPQ的面積不能相等；

（3）如圖2，當∠PQC=90°時，PQ⊥BC，

∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，QC=t，PC=10﹣2t，

∴△PQC∽△ABC，

∴=，即=，解得t=（秒）；

如圖3，當∠CPQ=90°時，PQ⊥AC，

∵∠ACB=∠QCP，∠B=∠QPC，

∴△CPQ∽△CBA，

∴=，即=，解得t=（秒）．

綜上所述，t為秒與秒時，△CPQ為直角三角形．

【點評】本題考查的是四邊形綜合題，涉及到矩形的性質(zhì)、勾股定理、根的判別式、三角形的面積公式及平行線分線段成比例等知識，解題關(guān)鍵是對這些知識的熟練掌握及靈活運用，在解答（3）時要注意分類討論．