Question

如圖，▱ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AD=6，若OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x²﹣7x+12=0的兩個(gè)根，且OA＞OB．

（1）求sin∠ABC的值；

（2）若E為x軸上的點(diǎn)，且S_△AOE=，求經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線(xiàn)的解析式，并判斷△AOE與△DAO是否相似？

（3）若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線(xiàn)AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)： 相似三角形的判定；解一元二次方程-因式分解法；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定． 

專(zhuān)題： 壓軸題．

分析： （1）求得一元二次方程的兩個(gè)根后，判斷出OA、OB長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求得AB長(zhǎng)，那么就能求得sin∠ABC的值．

（2）易得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，4），還需求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，OA之間的距離是一定的，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)可能在點(diǎn)O的左邊，也有可能在點(diǎn)O的右邊．根據(jù)所給的面積可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，把A、E代入一次函數(shù)解析式即可．然后看所求的兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊是否成比例，成比例就是相似三角形．

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點(diǎn)F在射線(xiàn)AB上與射線(xiàn)BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對(duì)角線(xiàn)的情況分別進(jìn)行求解計(jì)算．

解答： 解：（1）解x²﹣7x+12=0，得x₁=4，x₂=3．

∵OA＞OB

∴OA=4，OB=3．

在Rt△AOB中，由勾股定理有AB==5，

∴sin∠ABC=．

 

（2）∵點(diǎn)E在x軸上，S_△AOE=，即AO×OE=，

解得OE=．∴E（，0）或E（﹣，0）．

由已知可知D（6，4），設(shè)y_DE=kx+b，

當(dāng)E（，0）時(shí)有，

解得．

∴y_DE=x﹣．

同理E（﹣，0）時(shí)，y_DE=．

在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=；

在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6；

∵，

∴△AOE∽△DAO．

 

（3）根據(jù)計(jì)算的數(shù)據(jù)，OB=OC=3，

∴AO平分∠BAC，

①AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線(xiàn)AB上時(shí)，AF=AC=5，

所以點(diǎn)F與B重合，

即F（﹣3，0），

②AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線(xiàn)BA上時(shí)，M應(yīng)在直線(xiàn)AD上，且FC垂直平分AM，

點(diǎn)F（3，8）．

③AC是對(duì)角線(xiàn)時(shí)，做AC垂直平分線(xiàn)L，AC解析式為y=﹣x+4，直線(xiàn)L過(guò)（，2），且k值為（平面內(nèi)互相垂直的兩條直線(xiàn)k值乘積為﹣1），

L解析式為y=x+，聯(lián)立直線(xiàn)L與直線(xiàn)AB求交點(diǎn)，

∴F（﹣，﹣），

④AF是對(duì)角線(xiàn)時(shí)，過(guò)C做AB垂線(xiàn)，垂足為N，根據(jù)等積法求出CN=，勾股定理得出，AN=，做A關(guān)于N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即為F，AF=，過(guò)F做y軸垂線(xiàn)，垂足為G，F(xiàn)G=×=，

∴F（﹣，）．

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有四個(gè)：F₁（3，8）；F₂（﹣3，0）；

F₃（﹣，﹣）；F₄（﹣，）．

點(diǎn)評(píng)： 一個(gè)角的正弦值等于這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊之比；相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例；給定兩個(gè)點(diǎn)作為菱形的頂點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)可能是菱形的對(duì)角所在的頂點(diǎn)，也可能是鄰角所在的頂點(diǎn)．