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【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸交于點A(4,0),B(1,0),與y軸交于點D(0,4),點C(2,n)也在此拋物線上.

(1)求此拋物線的解析式及點C的坐標;

(2)設BC交y軸于點E,連接AE,AC請判斷ACE的形狀,并說明理由;

(3)連接AD交BC于點F,試問:以A,B,F(xiàn)為頂點的三角形與ABC相似嗎?請說明理由.

【答案】(1)、y=x23x+4;C(-2,6);(2)、等腰直角三角形;理由見解析;(3)、相似;理由見解析.

【解析】

試題分析:(1)、由A、B、D三點坐標,利用待定系數法可求得拋物線解析式,把C點坐標代入解析式可求得n的值,可求得C點坐標;(2)、把C點坐標代入拋物線解析式可求得n,可得C點坐標,利用待定系數法可求得直線BC的解析式,則可求得E點坐標,利用勾股定理可求得AC、AE、CE的長,則可判斷ACE的形狀;(3)、由A、D坐標可先求得直線AD解析式,聯(lián)立直線BC、AD解析式可求得F點坐標,又可求得BF、BC和AB的長,由題意可知ABF=CAB,若以A,B,F(xiàn)為頂點的三角形與ABC相似只有BFA=CAB,則判定是否相等即可.

試題解析:(1)、拋物線經過A、B、D三點,

代入拋物線解析式可得,解得, 拋物線y=x23x+4,

點C(2,n)也在此拋物線上, n=4+6+4=6, C點坐標為(2,6);

(2)、ACE為等腰直角三角形,理由如下: 設直線BC解析式為y=kx+s,

把B、C兩點坐標代入可得,解得, 直線BC解析式為y=2x+2,

令x=0可得y=2, E點坐標為(0,2), A(4,0),C(2,6),

AC===2,AE===2,CE===2,

AE2+CE2=20+20=40=AC2,且AE=CE, ∴△ACE為等腰直角三角形;

(3)、相似,理由如下: 設直線AD解析式為y=px+q,

把A、D坐標代入可得,解得, 直線AD解析式為y=x+4,

聯(lián)立直線AD、BC解析式可得,解得, F點坐標為(),

BF==,BC==3,且AB=14)=5,

== ==, =,且BFA=CAB, ∴△ABF∽△CBA.

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滿意

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15

有一點不滿意

15

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共計

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