Question

如圖，在△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，D是BC上的一動點，過點C作CE⊥BC，連接DE，求證：∠BAD=∠EDC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長EC至E′，使CE′=CE，連接AE′、DE′，首先不難證得△ABD≌△ACE′，從而得出AD=AE′，∠BAD=∠CAE′，然后可由∠BAD+∠DAC=90°得出∠CAE′+∠DAC=90°，從而求出∠ADE′=45°，這樣根據(jù)∠BAD=∠ADC-∠B=∠ADC-45°，∠E′DC=∠ADC-∠ADE′=∠ADC-45°，可得出結(jié)論．

解答：證明：延長EC至E′，使CE′=CE，連接AE′、DE′，

∵CE⊥BC，
∴∠DCE′=90°，
∵EC=E′C，
∴DE′=DE，
∴∠E′DC=∠EDC，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACE′=45°，
∴∠B=∠ACE′，
在△ABD與△ACE′中，

AB=AC ∠B=∠ACE′ BD=CE′

，
∴△ABD≌△ACE′（SAS），
∴AD=AE′，∠BAD=∠CAE′，
∴∠ADE′=∠AE′D，
∵∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠CAE′+∠DAC=90°，
∴∠ADE′=45°，
∵∠BAD=∠ADC-∠B=∠ADC-45°，∠E′DC=∠ADC-∠ADE′=∠ADC-45°，
∴∠BAD=∠E′DC，
∴∠BAD=∠EDC．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ABD≌△ACE′是解題的關(guān)鍵．