Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CD，∠ACD＝α，將線段CD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE，AE，BD．

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；

（3）若60°＜α≤110°，AB＝4，AE與BD相交于點(diǎn)G，直接寫出點(diǎn)G到直線AB的距離d的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AE＝BD，AE⊥BD，證明詳見解析；（3）＜d≤2．

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠ACE＝∠BCD，AC＝BC＝CE＝CD，進(jìn)而判斷出AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，最后用三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出點(diǎn)G是以AB為直徑的圓上的一段弧，再用等腰三角形的性質(zhì)求出∠ACE，進(jìn)而得出∠BAG，即可得出結(jié)論．

解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示，

（2）如圖1，由旋轉(zhuǎn)知，CE＝CD，∠DCE＝90°＝∠ACB，

∴∠ACE＝∠BCD，

∵AC＝BC＝CD，

∴AC＝BC＝CE＝CD，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠ABC＝∠BAC＝45°，

∴∠BAG+∠ABG＝∠BAC+∠CAE+∠ABG＝∠BAC+∠CBD+∠ABG＝∠BAC+∠ABC＝90°，

∴∠AGB＝90°，

∴AE⊥BD，

即：AE＝BD，AE⊥BD；

（3）由（2）知，∠AGB＝90°，

∴點(diǎn)G在以AB為直徑的圓上，如圖2，

∵60°＜α≤110°，

∴點(diǎn)G在弧GCG'上（不包括點(diǎn)G，包括點(diǎn)G'），

∵AC＝BC，

∴點(diǎn)C到直徑AB的距離為2，

即：點(diǎn)G到AB的最大距離為2，

當(dāng)α＝60°時，即：∠ACD＝60°，

由旋轉(zhuǎn)知，∠DCE＝90°，

∴∠ACD+∠DCE＝60°+90°＝150°＜180°，

∴點(diǎn)G在AC左側(cè)，

∴∠ACE＝60°+90°＝150°，

由（2）知，AC＝CE，

∴∠CAE＝（180°﹣∠ACE）＝15°，

∴∠BAG＝BAC+∠CAE＝60°，

∴∠ABG＝90°﹣∠BAG＝30°，

∵AB＝4，

∴AG＝2，

過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，

∴∠AHG＝90°，

∴GH＝AGcos∠BAG＝2×＝，

當(dāng)α＝110°時，即：∠ACD'＝110°，

由旋轉(zhuǎn)知，∠D'CE'＝90°，

∴∠ACD'+∠D'CE'＝200°，此時，點(diǎn)G'在BC右側(cè)，

∴∠ACE'＝360°﹣200°＝160°，

∴∠CAE'＝（180°﹣∠ACE'）＝10°，

∴∠BAG'＝45°﹣10°＝35°＞30°，

過點(diǎn)G'作G'H'于H'，

∴G'H'＞GH，

p>∴點(diǎn)G到直線AB的距離d的取值范圍為＜d≤2．