Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延長線于M，連接CD，且CD=BD．下列結(jié)論：
①AC+CE=AB；②CD=

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AE；③∠CDA=45°；④AC+AB=2AM．
其中正確的結(jié)論有（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：過E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN=∠BCD，交AD于N，過D作DH⊥AB于H，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CE=EQ，DM=DH，根據(jù)勾股定理求出AC=AQ，AM=AH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定求出BQ=QE，即可求出①；根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠CND=45°，證△ACN≌△BCD，推出CD=CN，即可求出②③；證△DCM≌△DBH，得到CM=BH，AM=AH，即可求出④．

解答：解：過E作EQ⊥AB于Q，

∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，
∴CE=EQ，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA=∠EQB=90°，
由勾股定理得：AC=AQ，
∴∠QEB=45°=∠CBA，
∴EQ=BQ，
∴AB=AQ+BQ=AC+CE，∴①正確；
作∠ACN=∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD=

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∠CAB=22.5°=∠BAD，
∴∠DBA=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD，
∴∠DBC=∠CAD，
在△ACN和△BCD中，

∠CAD=∠DBC AC=BC ∠ACN=∠DCB

，
∴△ACN≌△BCD（ASA），
∴CN=CD，
∵∠ACN+∠NCE=90°，
∴∠NCB+∠BCD=90°，
∴∠CND=∠CDN=45°，
∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN，
∴AN=CN，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°，
∴CN=NE，
∴CD=AN=EN=

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AE，
∴②正確，③正確；
過D作DH⊥AB于H，
∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，
∴∠MCD=∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM=DH，
在△DCM和△DBH中，

∠M=∠DHB=90° ∠MCD=∠DBA DM=DH

，
∴△DCM≌△DBH（AAS），
∴BH=CM，
由勾股定理得：AM=AH，
∴AC+AB=AC+AH+BH=AC+AM+CM=2AM，
∴④正確；
故選D．

點(diǎn)評：本題考查全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，本題中求證△ACN≌△BCD和△DCM≌△DBH是解題的關(guān)鍵．